Sandsynlighed: Betydning, begreb og betydning
Efter at have læst denne artikel vil du lære om: - 1. Betydning af sandsynlighed 2. Forskellige tankeskoler om begrebet sandsynlighed 3. Vigtige terminologi 4. Betydning 5. Principper.
Betydning af sandsynlighed:
I vores daglige liv er sandsynligheden eller chancen meget almindeligt anvendt. Nogle gange bruger vi at sige "Sandsynligvis det kan regne i morgen", "Sandsynligvis kan Mr. X komme til at tage sin klasse i dag", "Sandsynligvis har du ret". Alle disse udtryk, mulighed og sandsynlighed har samme betydning. Men i statistik har sandsynlighed visse særlige konnotationer i modsætning til Laymans synspunkt.
Sandsynlighedsorienteringen er udviklet i det 17. århundrede. Det har sin oprindelse fra spil, kaste mønter, kaster en terning, tegner et kort fra en pakke. I 1954 havde Antoine Gornband taget initiativ og interesse for dette område.
Efter ham havde mange forfattere i statistik forsøgt at ombygge ideen fra den førstnævnte. Sandsynligheden er blevet et af de grundlæggende værktøjer til statistik. Nogle gange bliver statistisk analyse lammet uden sandsynligheds sætning. "Sandsynligheden for en given begivenhed er defineret som den forventede hyppighed af begivenheden af arrangementet blandt begivenheder af samme slags." (Garrett)
Sandsynlighedsteorien giver et middel til at få en ide om sandsynligheden for forekomsten af forskellige hændelser som følge af et tilfældigt eksperiment i form af kvantitative foranstaltninger mellem nul og en. Sandsynligheden er nul for en umulig begivenhed og en for en begivenhed, der er sikker på at forekomme.
Eksempel:
Sandsynligheden for at himlen falder er .00.
En person, der nu lever, vil en dag dø, er 1, 00.
Lad os tydeliggøre sandsynligheden for et eksempel på at tegne et spillekort. Der er 4 sorter af kort i en pakke, og hvis disse kort vil blive blandet tilfældigt, er sandsynligheden for at tegne en spade 13/52 = 1/4. Hvis en upartisk mønt kastes, er sandsynligheden for forekomsten af hovedet (H) 1/2.
Sandsynlighed som forhold:
Sandsynligheden for en begivenhed angivet eller udtrykt matematisk kaldet som et forhold. Sandsynligheden for en upartisk mønt, faldende hoved er 1/2, og sandsynligheden for at en terning viser en topunkt er 1/6. Disse forhold, kaldet sandsynlighedsforhold, defineres af den brøkdel, hvis tæller svarer til det ønskede resultat eller udfald, og hvis nævner svarer til de samlede mulige resultater.
Mere simpelt sagt er sandsynligheden for, at ethvert ansigt er udseende på en 6-faced (f.eks. 4 pletter) 1/6 eller den
Sandsynlighed = ønsket resultat / samlet antal resultater
Således er en sandsynlighed et tal eller et forhold, der varierer fra 0 til 1. Nul for en begivenhed, der ikke kan forekomme, og 1 for en begivenhed, der kan forekomme.
Forskellige tænkeskoler om begrebet sandsynlighed:
Der er forskellige tænkeskoler på sandsynlighedsbegrebet:
1. Klassisk sandsynlighed:
Den klassiske tilgang til sandsynlighed er en af de ældste og enkleste tankegang. Det er opstået i det 18. århundrede, der forklarer sandsynlighed for spil af chancer, såsom kaste mønt, terninger, tegne kort osv.
Definitionen af sandsynlighed er givet af en fransk matematiker, der hedder "Laplace". Ifølge ham er sandsynligheden for forholdet mellem antallet af gunstige sager blandt antallet af lige sandsynlige tilfælde.
Eller med andre ord er forholdet foreslået ved klassisk tilgang:
Pr. = Antal gunstige sager / Antal lige så sandsynlige sager
For eksempel, hvis en mønt kastes, og hvis det bliver spurgt, hvad er sandsynligheden for forekomsten af hovedet, så er antallet af det gunstige tilfælde = 1, antallet af de lige store sandsynlige tilfælde = 2.
Pr. af hovedet = 1/2
Symbolisk kan det udtrykkes som:
P = Pr. (A) = a / n, q = Pr. (B) eller (ikke A) = b / n
1 - a / n = b / n = (eller) a + b = 1 og også p + q = 1
p = 1 - q og q = 1 - p og hvis a + b = 1 så er det også a / n + b / n = 1
I denne tilgang varierer sandsynligheden fra 0 til 1. Når sandsynligheden er nul, angiver det, at det er umuligt at forekomme.
Hvis sandsynligheden er 1, er der sikkerhed for forekomsten, dvs. begivenheden er bundet til at forekomme.
Eksempel:
Fra en taske med 20 sorte og 25 hvide bolde tegnes en bold tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den er sort.
Pr. af en sort bold = 20/45 = 4/9 = p, 25 Pr. af en hvid bold = 25/45 = 5/9 = q
p = 4/9 og q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)
ulemper:
(1) Klassisk tilgang er kun begrænset til mønter, terninger, kort osv .;
(2) Dette kan ikke forklare det faktiske resultat i visse tilfælde;
(3) Hvis antallet af lige sandsynlige tilfælde er mere, er det svært at finde ud af værdierne af sandsynlighedsforholdet, og
(4) Hvis antallet af lige sandsynlige tilfælde er 00, så er denne tilgang utilstrækkelig.
2. Relativ frekvens teori om sandsynlighed:
Denne tilgang til sandsynlighed er en protest mod den klassiske tilgang. Det angiver det faktum, at hvis n er øget op til ∞, kan vi finde ud af sandsynligheden for p eller q.
Eksempel:
Hvis n er ∞, så Pr. af A = a / n = .5, Pr. af B = b / n = 5
Hvis en begivenhed opstår en gange ud af n, er den relative frekvens a / n. Når n bliver ∞, kaldes grænsen for den relative frekvens.
Pr. (A) = begrænse a / n
hvor n → ∞
Pr. (B) = grænse bl.t. her → ∞.
Hvis der er to typer objekter blandt genstande af lignende eller andre naturer, så er sandsynligheden for en genstand dvs. Pr. af A = .5, derefter Pr. af B = .5.
ulemper:
1. Denne tilgang er slet ikke en autentisk og videnskabelig tilgang.
2. Denne sandsynlighedstilgang er et udefineret koncept.
3. Denne type sandsynlighedstilgang, selvom den anvendes i erhvervslivet og økonomiområdet, er det stadig ikke pålideligt.
Vigtigt terminologi i sandsynlighed:
1. Gensidigt eksklusive begivenheder:
Begivenhederne siges at være gensidigt eksklusive, når de ikke forekommer samtidigt. Blandt begivenhederne vil der ikke blive vist andre begivenheder, hvis en begivenhed forbliver til stede i et forsøg. Med andre ord udelukker forekomst af en tilstedeværelsen af alle de andre.
For eksempel:
Hvis en pige er smuk, kan hun ikke være grim. Hvis en bold er hvid, kan den ikke være rød. Hvis vi tager andre begivenheder som død og levende, kan det siges, at en person kan være enten levende eller død på et tidspunkt.
Men løgn kan ikke være både levende og død samtidigt. Hvis en mønt kastes cither, vil hovedet blive vist, eller halen vil blive vist. Men begge kan ikke vises i samme tid. Det refererer til, at ved kaste en mønt kommer forekomsten af hoved og hale under gensidigt eksklusive arrangementer.
Symbolisk, hvis 'A' og 'B' begivenheder udelukker hinanden, kan sandsynligheden for hændelser estimeres cither i P (A) eller P (B). I gensidigt eksklusive begivenheder P (AB) = 0.
2. Uafhængige og afhængige hændelser:
To eller flere begivenheder siges at være uafhængige, når forekomsten af et forsøg ikke påvirker den anden. Det indikerer det faktum, at hvis et forsøg udføres en efter en, påvirkes det ene forsøg ikke af det andet forsøg. Og også et forsøg beskriver aldrig noget om de andre forsøg.
Eksempel:
Begivenhederne ved at kaste en mønt er uafhængige begivenheder. Hvis en mønt kastes en efter en, påvirkes en prøve ikke af den anden. I et forsøg kan hovedet eller halen være konisk, som aldrig beskriver noget, hvilket begivenhed der kommer i andet forsøg. Så det andet forsøg er helt uafhængigt af det første forsøg.
Afhængige begivenheder er dem, hvor forekomsten og forekomsten af en begivenhed i en forsøg kan påvirke forekomsten af de andre forsøg. Her er begivenhederne gensidigt afhængige af hinanden.
Eksempel:
Hvis et kort trækkes fra en pakke af spillekort og ikke udskiftes, ændres der i 2. prøve sandsynlighed.
3. lige så sandsynlige begivenheder:
Hændelser siges at være lige så sandsynlige, når der er lige chance for at forekomme. Hvis en begivenhed ikke forekommer som andre begivenheder, betragtes begivenheder ikke som lige så sandsynlige. Eller med andre ord hævdes hændelser at være lige så sandsynlige, når en begivenhed ikke forekommer oftere end de andre.
Eksempel:
Hvis en upartisk mønt eller terning kastes, kan hvert ansigt forventes at forekomme, er lige mange i det lange løb. I et andet eksempel, forventer vi i en pakke spillekort, at hvert kort skal vises ens. Hvis en mønt eller terning er forspændt, forventes hver ansigt ikke at blive ligefrem.
4. Enkle og sammensatte hændelser:
Enkle begivenheder. I de enkle hændelser tænker vi på sandsynligheden for, at der sker eller ikke sker de simple begivenheder. Når vi kaster mønten overvejer vi forekomsten af hovedernes hændelser. I et andet eksempel, hvis der i en pose er der 10 hvide bolde og 6 røde kugler, og når vi forsøger at finde ud af sandsynligheden for at tegne en rød bold, indgår det i simple begivenheder.
Forbundne hændelser:
Men på den anden side, når vi overvejer den fælles forekomst af to eller flere hændelser, bliver det sammensatte hændelser. I modsætning til simple begivenheder tages der højde for mere end én begivenhed.
For eksempel:
Hvis der er 10 hvide og 6 røde kugler i en pose, og hvis der trækkes på hinanden følgende træk af 3 kugler, og når vi forsøger at finde ud af sandsynligheden for 3 kugler som de hvide kugler. Dette eksempel angiver det faktum, at begivenhederne overvejes i mere end to tilfælde.
Betydningen af sandsynlighed:
Begrebet sandsynlighed er af stor betydning i hverdagen. Statistisk analyse er baseret på dette værdifulde koncept. Faktisk er den rolle, som sandsynlighed spiller i moderne videnskab, det, der er en erstatning for sikkerhed.
Den følgende diskussion forklarer det yderligere:
jeg. Sandsynlighedsteorien er meget nyttig til at lave forudsigelser. Estimater og forudsigelser udgør en vigtig del af forskningsundersøgelsen. Ved hjælp af statistiske metoder laver vi skøn for den videre analyse. Således er statistiske metoder i høj grad afhængige af sandsynlighedsteorien.
ii. Det har også stor betydning i beslutningsprocessen.
iii. Det handler om planlægning og kontrol og med forekomsten af ulykker af enhver art.
iv. Det er et af de uadskillelige værktøjer til alle former for formelle studier, der involverer usikkerhed.
v. Begrebet sandsynlighed anvendes ikke kun i forretningsmæssige og kommercielle linjer, snarere end det gælder også for alle videnskabelige undersøgelser og hverdagsliv.
vi. Før man kender statistiske beslutningsprocedurer skal man vide om sandsynlighedsorienteringen.
vii. Karakteristika ved den normale sandsynlighed. Kurven er baseret på sandsynlighedsteorien.
Normal Distribution er langt den mest anvendte distribution for at tegne inferences fra statistiske data på grund af følgende grunde:
1. Antal beviser er akkumuleret for at vise, at normalfordeling giver en god pasform eller beskriver frekvenserne for forekomst af mange variabler og fakta i (i) biologisk statistik, f.eks. Kønsmæssige forhold i fødsler i et land over en årrække, ii) de antropometriske data f.eks. højde, vægt, (iii) løn og udbytte af stort antal arbejdstagere i samme erhverv under sammenlignelige forhold, (iv) psykologiske målinger fx intelligens, reaktionstid, justering, angst og (v) fejl i observationer i fysik, Kemi og andre fysiske videnskaber.
2. Normal distribution er af stor værdi i evaluering og forskning i både psykologi og uddannelse, når vi gør brug af mental måling. Det kan bemærkes, at normalfordeling ikke er en egentlig fordeling af scoringer på nogen test af evner eller akademisk præstation, men er i stedet en matematisk model.
Fordelingen af testresultater nærmer sig den teoretiske normale fordeling som en grænse, men pasformen er sjældent ideel og perfekt.
Principper for sandsynlighed og normal sandsynlighedskurve:
Når vi kaster en upartisk mønt, kan det falde hovedet eller halen. Sandsynligheden for faldende hoved er således 50% eller 1/2 og faldende hale er også 50% eller 1/2. Hvis vi kaster to tomme mønter, kan de falde på en række måder som HH (to hoveder) HT (1. mønthoved og 2. mønthale), TH (1. mønthale og 2. mønthoved) eller TT (to haler).
Så der er fire mulige ordninger, hvis vi kaster to mønter, (a) og (b) på samme tid:
Vi har for to mønter (H + T) 2 ; og kvadrering, binomialet (H + T) 2 = H2 + 2HT + T2.
1 H 2 1 chance i 4 af 2 hoveder; sandsynlighedsforhold = 1/4
2 HT 2 chancer i 4 af 1 hoved og 1 hale; sandsynlighedsforhold = 1/2
1 T 2 1 chance i 4 af 2 haler; sandsynlighedsforhold = 1/4
I alt = 4
Hvis vi kaster tre mønter (a), (b) og (c) samtidigt, er der 8 mulige resultater:
Udtrykt som forhold er sandsynligheden for tre hoveder 1/8 (kombination 1); af to hoveder og en hale 3/8 (kombinationer 2, 3 og 4); af et hoved og to hale 3/8 (kombinationer 5, 6 og 7); og af tre haler 1/8 (kombination 8). Summen af disse sandsynlighedsforhold er 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 eller 1, 00.
Hvis vi har tre uafhængige faktorer, der fungerer, bliver udtrykket (p + q) n til tre mønter (H + T) 3 . Udvidelsen af denne binomial får vi H 3 + 3H 2 T + 3HT 2 + T 3, som kan skrives,
1 H 3 1 chance i 8 af 3 hoveder; sandsynlighedsforhold = 1/8
3 H 2 T 3 chancer i 8 af 2 hoveder og 1 hale; sandsynlighedsforhold = 3/8
3 HT 2 3 chancer i 8 af 1 hoved og 2 haler; sandsynlighedsforhold = 3/8
1 T 3 1 chance i 8 af 3 haler; sandsynlighedsforhold i alt = 1/8
På lignende måde hvis vi kaster ti mønter og erstatter 10 for n, vil binomialudvidelsen være
(H + T) 10 = H10 + 10H9T + 45H8T2 + 120H7T3 + 210H6T4 + 252H5T5 + 210H4T6 + 120H3T7 + 45H2T 8 + 10HT 9 + T 10 .
Udvidelsen har elleve kombinationer og chancen for forekomst af hver kombination ud af den samlede mulige forekomst udtrykkes af koefficienten for hver kombination.
Vi kan repræsentere de ovennævnte elleve udtryk for ekspansion langs X-akse på lige afstande som:
Vi kan repræsentere chancen for forekomsten af hver kombination af H og T som frekvenser langs Y-aksen. Hvis vi plotter alle disse punkter og slutter sig til dem, får vi en symmetrisk frekvenspolygon.
Hvis i binomialet (H + T) n er værdien af n ret stor (sige uendelighed) ville vi have et meget stort antal punkter på grafen, og ved at blive med dem ville vi få en perfekt glatt symmetrisk kurve. En sådan glat og symmetrisk kurve er kendt som "normal sandsynlighedskurve".
Se omhyggeligt følgende frekvensfordeling, som en lærer opnåede efter at have undersøgt 150 elever i klasse IX på en matematikpræstationstest (se tabel 6.1):
Kan du finde en særlig tendens i de frekvenser, der vises i kolonne 3 i ovenstående tabel? Sandsynligvis ja! Koncentrationen af maksimumfrekvensen ( f = 30) er ved den centrale værdi af fordelingen, og frekvenserne aftager gradvis symmetrisk på begge sider af denne værdi. Hvis vi tegner en frekvenspolygon ved hjælp af ovenstående fordeling, har vi en kurve som vist i figur 6.1.
Kurvens form i figuren er ligesom en 'Bell' og er symmetrisk på begge sider. Hvis du beregner værdierne mellem middel, middel og tilstand, vil du opdage, at disse tre er omtrent det samme (middel = median = mode = 52).
Den "Bell" -formede kurve, der er teknisk kendt som Normal Sandsynlighedskurve eller simpelthen Normalkurve og den tilsvarende frekvensfordeling af scoringer, der har lige værdier af alle tre mål af central tendens, er kendt som Normal Distribution.
Denne normale kurve har stor betydning i psykologisk og uddannelsesmæssig måling. Ved måling af adfærdsmæssige aspekter er den normale sandsynlighedskurve ofte blevet anvendt som referencekurve.
Således er den normale sandsynlighedskurve en symmetrisk klokkeformet kurve. I visse udlodninger har målinger eller scoringer tendens til at blive distribueret symmetrisk om deres midler. Det vil sige, at størstedelen af sager ligger i midten af distributionen, og i meget få tilfælde ligger de yderste ender (nederste ende og øvre og).
Med andre ord begynder de fleste af målene (scorer) i midten af fordelingen og andre mål (scoringer) at falde både til højre og venstre i lige store mængder. Dette er ofte tilfældet med mange naturlige fænomener og med mange mentale og sociale træk.
Hvis vi tegner en bedst egnet kurve til en sådan symmetrisk fordeling, vil den tage form af en klokkeformet kurvesymmetrisk på begge sider af dens center.
