Lineær programmering: applikationer, definitioner og problemer

Lineær programmering: applikationer, definitioner og problemer!

(i) At udvikle planlægning for fødevareforarbejdningsindustrien og for olieraffinaderier mv.

ii) I metalindustrien anvendes den til butiksladning og til at bestemme valget mellem køb og produktion af forskellige dele.

(iii) Det bruges til at evaluere forskellige jernmalm i jern- og stålindustrien.

(iv) Det bruges til at reducere mængden af trim tab i papirfabrikker.

(v) Det bruges til at finde den optimale routing af massage i kommunikationsnet.

Lineær programmeringsdefinition:

Lineær programmering er et matematisk værktøj / teknik til bestemmelse af de bedste anvendelser af en organisations ressourcer. Lineær programmering er designet til at hjælpe ledere med hensyn til planlægning og beslutningstagning. Som et redskab til beslutningstagning har det vist sin værdi på forskellige områder som produktion, marketingfinansiering, forskning og personaleopgaver.

Bestemmelse af optimal produktmiks, transportplaner porteføljevalg maskine opgave; plante placering og tildeling af arbejdskraft mv er de få typer af problemer, der kan løses ved hjælp af lineær programmering.

"Analysen af problemer, hvor en lineær funktion af en række variabler skal maksimeres (eller minimeres), når disse variabler er underlagt antal eller begrænsninger i form af lineære i equaliteter", Samuelson og Slow.

Ifølge Loomba er "Lineær programmering kun et aspekt af, hvad der er blevet kaldt en systemtilgang til ledelse, hvor i alle programmer er designet og evalueret med hensyn til deres ultimative indvirkning på realiseringen af forretningsmålene".

Lineære programmeringsproblemer-grafisk metode:

Trinene i den grafiske metode kan opsummeres som følger;

1. Formulér det lineære programmeringsproblem

2. Tegn de givne begrænsningslinjer i betragtning af dem som ligninger

3: Fra den ovenstående graf identificere den mulige løsning region

4. Find hjørnepunktet for den mulige løsning region.

5. Beregn værdien af objektivfunktionen på hjørnepunkterne.

6. Vælg nu det punkt, hvor objektivfunktionen har optimal værdi.

Eksempel 1:

Efter at have afsluttet opførelsen af hans timer fandt hr. Gopalan, at 100 kvadratmeter krydsfinerskrot og 80 kvadratmeter hvidt fyrskrot er i brugbar form, som kan bruges til opførelse af tabeller og bogomslag. Det tager 16 kvadratmeter af krydsfiner og 8 kvadratmeter hvidt fyrretræ for at lave et bord, 12 kvadratmeter krydsfiner og 16 kvadratmeter hvidt fyrretræ er nødvendige for at konstruere et bogomslag. Ved at sælge de færdige produkter til en lokal forhandler kan han realisere en fortjeneste på Rs. 25 på hver bord og Rs. 20 på hver bogsag. Hvordan kan han mest rentabelt bruge venstre over træet. Anvend grafisk metode til at løse LLP

Opløsning:

Lad os antage, at X ₂ er tabellen, og X ₂ er nej til bogsager, så det

Nu for at plotte begrænsningen på grafen midlertidigt vil vi omregne ulighederne til ligning som følger:

Enhver kombination af værdi af x ₁ og x _2, som opfylder sådanne begrænsninger kaldes muliggjort løsning. Område OABC i figur 15.1 opfyldt af begrænsningen er vist med skyggefuldt område og er kendt som mulig løsning region.

Max Z = 160

x ₁ = 4

x ₂ = 3 ans.

Eksempel 2:

En møbler fremstillingsvirksomhed fremstiller stole og borde. Dataene nedenfor viser de forbrugte ressourcer og enhedsresultatet. Endvidere antages det, at træ og arbejde er de to ressourcer, der indtages i fremstilling af møbler. Ejeren til firmaet ønsker at bestemme, hvor mange stole og borde der skal laves for at maksimere det samlede overskud.

Opløsning:

Lad x være antallet af tabeller x2 være nej. af stole, så det.

Nu for at plotte begrænsningerne på graf midlertidigt vil vi konvertere ulighederne til ligninger:

Ligeledes i ligning

Enhver kombination af værdien af x og som opfylder den givne begrænsning er kendt som mulig løsning. Området OABC 'm Fig. 15.2 opfyldt af begrænsninger er vist med skyggefuldt område og er kendt som mulig løsning region. Koordinatet af punktet på hjørnet af regionen kan opnås ved at løse de to ligninger af linierne, der skærer på punkt B

Således Z = 96

x ₁ = 4

x ₂ = 9 ans.

Eksempel 3:

Et firma producerer to typer pen, siger A & B. Pen A er en overlegen kvalitet og 6 er en lavere kvalitet. Fortjeneste på pennene A og B er Rs. 5 og Rs.3 pr. Pen. Råmateriale, der kræves for hver pen, A er dobbelt så stort som for pen B.

Forsyningen af råmaterialer er kun tilstrækkelig til 1000 penner af type B pr. Dag. Pen A kræver et specielt klip, og kun 400 sådanne klip er tilgængelige pr. Dag. Til pen B er der kun 700 klip pr. Dag. Find grafisk produktblandingen, så virksomheden kan opnå maksimal fortjeneste.

(Delhi University MBA april 1988)

Opløsning:

Lad x ₁ = Antal Type A-pennen

x ₂ = Antal Type B-pinde

Den matematiske formulering af problemerne er

Ved at konvertere uligheder af de ovennævnte begrænsninger til lige muligheder for at plotte den graf, vi får

Ved at tegne ovenstående linjer på grafen har vi x ₁ x ₂ tilfredsstilte alle de tre begrænsninger som x ₁ ≥ 0 og x ₂ ≥ 0, så ovenstående figur 15.3 udgør ODABE som mulig region.

De forskellige punkter vurderes som under.

Det fremgår af ovenstående tabel, at den maksimale værdi er Rs. 2850 ved punkt B

Så x ₁ = 150, x ₂ = 700 og Z = 2850

Eksempel 4:

GJ Breveries Ltd. Med to flaskeanlæg, der ligger i G og den anden ved J. Hver plante producerer tre drikkevisker, øl og brandy henholdsvis A, B og C. Antallet af flasker produceret pr. Dag er som følger.

Et marked tyder på, at der i juli måned vil være en efterspørgsel på 20000 flasker whiskyflasker, 40000 flasker øl og 44.000 flasker brandy. Driftsomkostningerne pr. Dag for planter G og J er 600 og 400 monetære enheder. For hvor mange dage hver plante køres i juli for at minimere produktionsomkostningerne, mens de stadig opfylder markedets efterspørgsel? Løs grafisk?

Opløsning:

Dataene af problemet er som følger:

Nu er målet at minimere omkostningerne, som problemet kan præsenteres på den matematiske måde som følger.

For at plotte begrænsningerne på grafen må ulighederne i ovenstående begrænsninger omdannes til lige muligheder, vi får

1500x ₁ + 1500x ₂ = 20000

3000x ₁ + 1000x ₂ = 40000

20000x ₁ + 5000x ₂ = 44000

Forenkling af ovenstående ligninger vi har

Løsningen vil være i den første kvadrant, da hver af dem tilfældigvis er større end eller lig med typebegrænsninger, så punkterne (x _v x ₂ ) vil være i regionen, der falder til højre for hver af de linjer, der er tegnet.

Form den ovenstående graf ubundet opløsningsområde er ABC og for at finde værdien ved B løser vi intersektionsligningen og samtidigt.

Eksempel 5:

Lederen af et olieraffinaderi skal beslutte sig for den optimale blanding af to mulige blandingsprocesser, hvis input og output pr. Produktionskørsel er som følger:

Det maksimale beløb for rå A og B er 200 enheder og 150 enheder. Markedsbehovet viser, at mindst 100 enheder ganolin X og så enheder af benzin Y skal fremstilles.

Overskuddet pr. Produktion, der løber fra proces 1 og proces 2, er Rs. 300 og Rs. 400 henholdsvis. Løs LP'en ved hjælp af grafisk metode.

(Gujarat University MBA 1989)

Opløsning:

Per data er den matematiske formulering af problemerne

Max Z = 300x ₁ + 400x ₂

Underlagt

5x ₁ + 4x2 = ≤ 200

3x ₁ + 5x ₂ = ≤ 150

5x ₁ + 4x ₂ = ≥ 100

8x ₁ + 4x2 = ≥ 80

Med henblik på at udforme disse begrænsninger på grafer, lad os betragte disse i ligninger som ligning, så det

Hvis vi plotter værdier på grafen, får vi det som vist i figur 15.5.

Løsningen ligger på et af hjørnepunkterne i løsningsregionen LMN, O, P og for at bestemme den ukendte værdi dvs. O vi løser skæringsligningerne samtidigt, dvs.

Eksempel 6:

Et firma fremstiller produkt x og y har en samlet produktionskapacitet på 9 tons fortsat. Per dag x & y kræver samme produktionskapacitet. Virksomhederne har en permanent kontrakt om at levere mindst 2 tons x og mindst 3 ton y pr. Dag til et andet firma. Hvert ton x kræver 20 maskintimer produktionstid og hvert ton y kræver 50 maskintimer produktionstid.

Det daglige maksimale antal maskintimer er 360. Alt firmaets produktion kan sælges, og fortjenesten er Rs. 80 pr. Ton x og Rs. 120 pr. Ton y. Det er påkrævet at bestemme produktionsplanen for maksimalt overskud og at beregne produktionsplanen for maksimalt overskud og at beregne resultatet.

(Delhi University MBA April 1983)

Opløsning:

Den givne LP kan skrives matematisk som følger:

Lad ulighederne behandles som ligninger med det formål at udforme over værdier på graf som følger:

Lad os plotte disse ligninger på grafen som vist i figur 15.6.

Fra diagrammet er det klart, at EFGH er Solution Region & løsningen ligger ved hjørnestenen for EFGH.

Værdien ved inspektion på

E = (2, 3)

F = (6, 3)

For punkt "Værdien kan beregnes ved samtidige ligninger af linjens indstilling ved H. dvs.

20x ₁ + 50x ₂ = 360

x ₁ = 2

x ₂ = 320/50 = 6, 4

Ligesom klog i punkt G, som er krydset af ligninger

20x ₁ + 50x ₂ = 360 ... (1)

x ₁ + x ₂ = 9 ... (2)

Løsning af disse ligninger får vi

x ₁ = 3, x ₂ = 6

Det maksimale overskud er ved punkt G. Derfor.

x ₁ = 3

x ₂ = 6

Z = 960 Ans.

Eksempel 7:

Standardvægten af en specialformål er 5 kg og indeholder to grundstoffer 6 ₁ og S ₂ koster Rs. 5 pr. Kg og S ₂ koster Rs. 8 pr. Kg.

Kraftovervejelse dikterer, at mursten ikke indeholder mere end 4 kg S og mindst 2 Kg S _2, da efterspørgslen efter produktet sandsynligvis vil være relateret til prisen på mursten, finder du grafisk minimumsudgifter til mursten, der opfylder ovenstående betingelser.

(ICWA juni 1982)

Opløsning:

De givne data kan gives den matematiske form som følger:

Hvis vi behandler ulighederne af begrænsninger i øjeblikket som ligning, så at ligningen kan tegnes på graf, kunne vi gribe.

Nu tegner vi disse værdier på grafen.

Da et af begrænsningerne er ligestilling x ₁ + x ₂ = 5. Der er ingen løsning, snarere et løsningspunkt, der opfylder alle betingelserne, dvs. punkt S (3, 2)

Z = 31

x ₁ = -3

x ₂ = 2Ans.

Eksempel 8:

Løs grafisk det følgende lineære programmeringsproblem.

Opløsning:

For at tegne grafen, der konverterer ulighederne af de givne begrænsninger til lige muligheder, får vi

Nu tegner du ovenstående linjer på grafen som vist i figur 15.8 Den mulige løsning region, som er kryds skygget og er afgrænset af ABCDE. Værdien af Z på forskellige punkter er som følger.

Point A linjerne skærer

2x ₁ - x ₂ = -2

2x ₁ + 3x2 = 12

Løsning af dem samtidig får vi

x ₁ = 0, 75

x ₂ = 3, 5

I punkt B er linjerne skærende

2x ₁ - x ₂ = -2

-3x ₁ + 4x2 = 12

Ved at løse disse ligninger får vi koordinater af B som

x ₁ = 0, 8

x ₂ = 3, 6