Central tendens: Betydning, anvendelser og foranstaltninger
Central tendens: Betydning, anvendelser og foranstaltninger!
Betydning af central tendens:
Foranstaltninger af central tendens er en kombination af to ord, dvs. 'måling' og 'central tendens'. Mål betyder metoder og central tendens betyder middelværdi af enhver statistisk serie. Således kan vi sige, at den centrale tendens betyder metoderne til at finde ud af den centrale værdi eller gennemsnitsværdi af en statistisk serie kvantitativ information.
JP Guilford har påpeget, at "et gennemsnit er en central værdi for en gruppe observationer eller enkeltpersoner."
Ifølge Clark "Average er et forsøg på at finde en enkelt figur for at beskrive hele figuren."
I AE Waughs ord "Et gennemsnit er en enkelt værdi valgt fra en gruppe værdier til at repræsentere dem på samme måde - en værdi, der skal stå for hele gruppen, som den er en del af, som typisk for alle værdierne i gruppen. "
Det kan således siges, at en gennemsnitlig eller central tendens er en enkelt figur, der beregnes fra en given fordeling for at give en central idé om hele serien. Værdien af gennemsnittet ligger inden for den maksimale og minimale værdi i serien.
Anvendelser af central tendens:
Den centrale tendens er nødvendig af følgende årsager:
1. Gennemsnit giver det samlede billede af serien. Vi kan ikke huske hver eneste fakta i forbindelse med et undersøgelsesområde.
2. Gennemsnitlig værdi giver et klart billede af feltet under studiet for vejledning og nødvendig konklusion.
3. Det giver en kortfattet beskrivelse af gruppens præstationer som helhed, og det gør det muligt for os at sammenligne to eller flere grupper med hensyn til typisk præstation.
Foranstaltninger af central tendens:
Der er tre foranstaltninger af central tendens, såsom:
(1) Det aritmetiske gennemsnit.
(2) Medianen og
(3) tilstanden.
(1) Mean (M):
For en fælles mand betyder gennemsnit det aritmetiske middel. Det bruges mest populært på grund af dets enkelthed, stivhed osv.
Et aritmetisk gennemsnit er defineret som "kvotienten opnået ved at dividere summen af værdierne af en variabel med det samlede antal af deres observationer eller poster."
II.E. Garett (1985 P) definerer "Det aritmetiske middel eller mere simpelthen middelværdien er summen af de separate resultater eller mål divideret med deres nummer."
Metoder til beregning af middel:
Der er flere metoder til beregning af gennemsnit. Men her skal vi kun drøfte to metoder.
De er som følger:
1. Direkte metode eller lang metode.
2. Kort metode eller antaget middel metode.
1. Direkte metode eller lang metode:
I denne metode beregnes middelværdien direkte fra den givne serie. I denne metode kan vi beregne gennemsnittet fra de ugrupperede data og formlen til beregning af middel fra ikke-grupperede data.
Formlen til beregning af gennemsnit fra ikke-grupperede data er:
Fra de grupperede data beregnes gennemsnittet med følgende formel:
Illustration:
Beregn gennemsnittet fra følgende frekvensfordelinger ved hjælp af direkte metode:
2. Kort metode eller antaget middel metode:
Det er kendt som antaget middel metode, fordi i stedet for at beregne middel fra midtpunkterne, antages vi at være middelværdige for at finde ud af middelværdien. Først gætter vi på eller antager et middel, og så bruger vi en korrektion til denne antagne værdi for at finde den nøjagtige værdi.
Formlen for at finde ud af middelværdien i den antagne middelværdi er angivet nedenfor:
Nedenfor diskuteres trinene til beregning af gennemsnit i den korte metode:
Trin 1:
Antag ethvert midtpunkt for fordelingen som middelværdi. Men den bedste plan er at tage midtpunktet af et interval i nærheden af midten, som har den største frekvens.
Trin 2:
Find ud af x'-kolonnen, x 'er afvigelsen mellem scoren og det antagne gennemsnit.
Her kan vi finde ud af x 'ved at bruge følgende formel:
Trin 3:
Find ud af fx kolonne. Det er fundet ud af at multiplicere f kolonne ved x 'kolonne.
Trin-4:
Find ud af Σ f x. Tilføj alle de positive værdier og negative værdier separat. Find derefter den algebraiske sum som er Σ f x.
Trin-5:
Find ud af middelværdien ved hjælp af formel 9.4.
Illustration:
Find ud af gennemsnittet af fordelingen i antaget middelværdi.
I en matematisk test er de 50 elever præsenteret i følgende distribution:
Her har vi taget 44, 5 midtpunktet for Ci 40-49 som antaget middel. Nu kan vi finde ud af at være middelalder ved at bruge formel-8.4.
Kombineret middel:
De separate midler i en række forskellige serier kan producere det kombinerede aritmetiske gennemsnit af alle de forskellige serier, når antallet af emner i hver af disse serier er givet. Dette beregnes med følgende formel, når antallet af grupper er n.
Illustration:
Nedenfor er givet gennemsnittet af VI klasselever på 4 skoler. Hvad er gennemsnittet af VI klasse studerende generelt.
Vi kan finde ud af kombineret gennemsnit ved at anvende formel 9.5:
Så gennemsnittet af alle VI klasselever er 55, 25.
Anvendelser af betydning:
Der er visse generelle regler for brug af middel. Nogle af disse anvendelser er som følger:
1. Middel er tyngdepunktet i fordelingen, og hver score bidrager til bestemmelsen af det, når spredningen af scorerne er symmetrisk omkring et centralt punkt.
2. Middel er mere stabil end median og mode. Således, at når målingen af central tendensen med den største stabilitet er ønsket, er der anvendt middel.
3. Middel er brugt til at beregne andre statistikker som SD, korrelationskoefficient, ANOVA, ANCOVA osv.
Fortjeneste:
1. Middel er stift defineret, så der ikke er tale om misforståelser om dens betydning og natur.
2. Det er den mest populære centrale tendens som det er let at forstå.
3. Det er nemt at beregne.
4. Det omfatter alle scoringer af en distribution.
5. Det påvirkes ikke af stikprøver, så resultatet er pålideligt.
6. Middel er i stand til yderligere algebraisk behandling, således at forskellige andre statistikker som dispersion, korrelation, skævhed kræver gennemsnit for beregning.
Demerits of Mean:
1. Middel er påvirket af ekstreme resultater.
2. Sommetider betyder betyder en værdi, som ikke er til stede i serien.
3. Nogle gange giver det absurde værdier. For eksempel er der 41, 44 og 42 studerende i klasse VIII, IX og X i en skole. Så de gennemsnitlige studerende pr. Klasse er 42, 33. Det er aldrig muligt.
4. I tilfælde af åbne mellemrumsintervaller kan den ikke beregnes uden at antage størrelsen af de åbne slutklasser.
(2) Median:
Median er et andet mål for central tendens. Det er et positionelt gennemsnit, fordi dets værdi bestemmes i forhold til dets position i værdikolonnen i en serie. I Collins Dictionary of Statistics defineres det som "middelværdien i en fordeling, under og over, som ligger værdier med lige samlede frekvenser eller sandsynligheder."
D. Patri (1996) definerer median "som værdien af den midterste genstand i en serie arrangeret i stigende eller faldende rækkefølge. Som sådan deler den en serie i to lige store dele. "
Median kan defineres som et punkt på fordelingen nedenfor, hvor halvtreds procent tilfælde og over hvilke halvtreds procent tilfælde ligger.
Beregning af median fra ubearbejdede data:
I tilfælde af ugrupperet data er scoren arrangeret i størrelsesorden. Så er midtpunktet fundet ud, hvilket er medianen. I denne proces opstår der to situationer ved beregning af median, (a) N er ulige (b) N er lige. Først skal vi diskutere, hvordan man beregner median (Mdn), når N er ulige.
Illustration:
I en klasse 9 har eleverne sikret følgende karakterer i en ordforrådstest. Find ud af medianen.
Marks-6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9
I ugrupperede data
Lad os diskutere, hvordan man beregner Mdn, når N er lige.
Illustration:
Beregn Mdn af følgende data på 10 elever af en stavningstest på engelsk.
Mærker = 7, 6, 8, 12, 7, 9, 11, 10, 13, 14
For at løse problemet skal vi arrangere i størrelsesorden
6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Nu anvender vi formel 8.6;
Beregning af median fra grupperede data:
Vi ved, at medianen er et punkt, der fordeler fordelingen i to lige halvdele.
Formlen for at finde ud af median fra grupperede data lyder som følger:
Hvor L = Nedre grænse for medianklassen.
Median klasse er den klasse, hvis kumulative frekvens er større end værdien af N / 2 dvs N / 2> cf (kumulativ frekvens)
N / 2 = Halvdelen af det samlede antal scoringer.
F = Kumulativ frekvens af klassen intern under middelklassen.
fm = Frekvensen af medianklassen.
i = størrelsen af klassen internals.
Fremgangsmåde til beregning af mdn fra grupperede data:
Trin 1.
Beregn N / 2 dvs. 50% af fordelingen.
Trin 2:
Beregn den kumulative frekvens af fordelingen fra nedre ende.
Trin 3:
Find ud af mdn-klassen. Den kumulative frekvens af klasseintervallet hvor N / 2> jf
Trin-4:
Find ud af F den kumulative frekvens under mdn-klassen.
Trin-5:
Find ud af m m . og sæt alle værdierne i formel.
Illustration:
Find ud af distributionens median.
Nedenfor gives de scoringer af 40 studerende i en matematisk test:
L = 59, 5. Fordi N / 2 ie 20 er inkluderet i den kumulative frekvens af klasseintervallet 60-61, og de nøjagtige grænser for Ci = 59, 5-61, 5.
F = 17. Den kumulative frekvens under mdn-klassen.
fm = 7. Den præcise frekvens af mdn-klassen.
i = 2. Størrelsen af klasseintervallet.
Nu sætter værdien ind i formlen
Mdn af fordelingen er 60, 63.
Mdn kan også beregnes ud fra distributionens øvre grænse. Formlen for at finde ud af mdn ved at tage øvre grænser lyder som dette.
Hvor U = Den øvre grænse for Mdn-klassen.
F 1 = Den kumulative frekvens af klasseintervallet over Mdn-klassen.
fm = Frekvensen af medianklassen.
i = Klasseintervallets størrelse.
Steps:
Ved beregning af Mdn fra øvre grænse er den eneste forskel, at vi skal beregne kumulativ frekvens fra den øvre ende.
Illustration:
U = 61, 5. Fordi den kumulative frekvens 23 omfatter N / 2 dvs. 20.
F = 16. Kumulativ frekvens af klasseintervallet over Mdn-klassen.
fm = 7 frekvens af median klassen.
i = 2
Mdn er 60, 36.
Der er også nogle ekstraordinære tilfælde af computermedianer. Dette er når frekvensfordelingen indeholder huller, og når klassens intervaller er åbne, afsluttes. Først og fremmest skal vi diskutere, når der er huller i frekvensfordeling.
Når der er på hinanden følgende 0 frekvenser på klasseintervallerne hvor Mdn ligger, er det vanskeligheder, der opstår for at finde ud af Mdn-klassen. I dette tilfælde tilføjer vi 0 frekvensintervallerne til ovennævnte og under klassens intervaller.
Den følgende illustration forklarer processen klart:
Illustration:
Find ud af Mdn i følgende serier:
L = 49, 5. Den nedre grænse for Ci hvor Ci er større end N / 2.
F = 4 Cf af Ci under Mdn-klassen
f m = 2. Frekvensen af Mdn klasse.
i = 10. Størrelsen af Ci
Sæt værdierne i formel 8.7.
Så fordelingen af Mdn er 57.
Den anden situation er, at når der er åbne afsluttede klasse intervaller i begge ender. I dette tilfælde kan de åbne ender holdes åbne eller det kan omdannes til de specifikke klasser. En illustration er vist nedenfor.
Illustration:
30 studerende har sikret følgende karakterer i en matematisk test. 4 studerende har sikret under 10 point. 6 studerende har sikret karakterer mellem 10-20, 10 studerende mellem 20-30, 8 studerende mellem 30-40, 7 studerende mellem 40-50 og 3 studerende over 50. Find ud af Mdn.
L = 19, 5. Nedre grænse for Mdn klassen dvs. 20-30.
F = 10. Cf af Ci under Mdn-klassen.
fm = 10
i = 10
Så Mdn af fordelingen er 28, 5.
Anvendelser af median:
1. Median bruges, når den nøjagtige midtpunkt for fordelingen er nødvendig eller 50% -pointet er ønsket.
2. Når ekstreme resultater påvirker gennemsnittet på den tid, er medianen det bedste mål for central tendens.
3. Median bruges, når det kræves, at visse score skal påvirke den centrale tendens, men alt, hvad der er kendt om dem, er, at de er over eller under medianen.
4. Median bruges, når klasserne er åbne, eller den er af ujævn cellestørrelse.
Fordele ved medianen:
1. Det er nemt at beregne og forstå.
2. Alle observationer er ikke nødvendige for beregningen.
3. Ekstreme resultater påvirker ikke medianen.
4. Det kan bestemmes ud fra open ended-serien.
5. Det kan bestemmes ud fra ikke-lige klasseintervaller.
Demerits of Median:
1. Det er ikke stiv defineret som middel fordi dets værdi ikke kan beregnes, men er placeret.
2. Det omfatter ikke alle observationer.
3. Det kan ikke behandles yderligere algebraisk som middel.
4. Det kræver arrangement af scorerne eller klassens intervaller i stigende eller faldende rækkefølge.
5. Sommetider producerer den en værdi, som ikke findes i serien.
(3) Mode:
Mode er de hyppigste forekomster i en distribution. Som et gennemsnit repræsenterer det den mest typiske værdi af en serie, der næsten falder sammen med de eksisterende elementer. Det påvirkes aldrig af ekstreme resultater, men af ekstreme frekvenser af værdierne. For at bestemme tilstand er der forskellige metoder.
Nogle af de vigtige metoder diskuteres nedenfor:
Metoder til bestemmelse af tilstand:
1. Inspektionsmetode
2. Grupperingsmetode
3. Empirisk Forholdsmetode
1. Inspektionsmetode:
I denne metode bestemmes tilstanden blot ved observation. Her bestemmes tilstanden ved at observere den hyppigst forekommende score eller klasseintervallet mod hvilket maksimumfrekvensstandene er taget som modalklassen. Når to sådanne værdier eller klasseintervaller har samme forekomst eller frekvens, tages både scorerne eller klasseintervallerne som mode. ' Og fordelingen kaldes som en bi-modal distribution. Hvis mere end to sådanne værdier eller klasseintervaller er der, er det allieret som en multimodal distribution.
2. Grupperingsmetode:
Når værdiforskellen mellem højeste frekvens og næste højeste frekvens er meget lav på det tidspunkt, er det ikke sikkert at bestemme tilstanden i inspektionsmetode. I sådanne tvivlsomme tilfælde var brugen gruppering metode.
Ved denne metode udarbejdes først en grupperingstabel eller en erklæring om gruppering af frekvenserne. I denne sætning sæt værdierne eller klasserne af værdier i venstre kolonne og deres tilsvarende frekvenser i den næste kolonne. I den næste kolonne (2) grupperer frekvenserne i to gange fra den første frekvens. Så i den tredje kolonne grupperer frekvenserne i to gange fra 2. frekvens. I den næste kolonne grupperer frekvenserne i tre år fra 1. frekvens.
I den næste kolonne grupperer frekvenserne i tre år fra 2. frekvens. I den sidste kolonne grupperer frekvenserne i tre år fra 3. frekvens. Når grupperingen er overstået, identificerer maksimumsbilledet (r) for hver af de 6 kolonner ved at sætte en cirkel.
Næste trin er at forberede en analyse tabel for at finde modal værdi eller modal klasse. I denne tabel vises sandsynlige modalværdier i den øverste vandrette linje under de forskellige kolonner, og de forskellige kolonnetal vil blive sat til venstre for bordet.
De værdier, der viser de maksimale grupperede frekvenser i grupperingstabellen, identificeres med et mærke mod den respektive kolonne. Antallet af sådanne mærker sat under sandsynlige værdikolonner vil blive samlet nederst i denne tabel. Den sandsynlige værdi, der viser maksimumet af sådan total, vil blive identificeret som den modale værdi modal klassen, som det måtte være tilfældet.
Den følgende illustration giver bedre forståelse:
Illustration:
Ovennævnte analyse tabel viser, at omkring score 60, maksimale klynger dvs. totalt 4. Så her 60 er den modale værdi.
Når dataene er i den kontinuerlige serie, kan vi beregne tilstand ved at anvende følgende formel:
Hvor M 0 = Mode
L 0 = Nedre grænse for modalklassen
f 2 = frekvens af klassens efterfølgende modalklasse.
f 0 = frekvens af klassen forudgående modalklasse.
i = Størrelsen af klasseintervallet.
Illustration:
Af følgende data bestemmer tilstanden:
Opløsning:
Her indeholder klasseintervall 20-25 højeste frekvens. Så det kan betragtes som modal klassen
Her:
3. Empirisk Forholdsmetode:
Dette er den mest effektive metode til bestemmelse af tilstand. Prof Karl Pearson har planlagt denne metode. Prof Pearson har fundet ud af, at der i en moderat asymmetrisk eller skæv serie findes et relevant forhold mellem middel, median og mode. I sådanne serier er afstanden mellem middel og median 1/3 af afstanden mellem middel og mode.
Illustration:
Find ud af tilstanden fra fordelingen angivet ovenfor.
Opløsning:
Middelværdien af fordelingen er 25, 94
Distributionsmedianen er 23, 83
M 0 = 3 Median-2 middel
M 0 = 3 X 23, 83-2 x 25, 94
= 71, 49-51, 88
= 19, 61 (Ca.
Anvendelser af tilstand:
Moden bruges:
(i) Når vi ønsker en hurtig og omtrentlig måling af central tendens.
(ii) Når vi ønsker en måling af central tendens, som bør være typisk værdi. For eksempel når vi ønsker at kende den typiske kjole stil af indiske kvinder, dvs. den mest populære kjole stil. Ligesom dette kaldes de gennemsnitlige karakterer af en klasse modalmærker.
Merits of Mode:
1. Mode giver den mest repræsentative værdi af en serie.
2. Mode påvirkes ikke af nogen ekstreme resultater som gennemsnit.
3. Det kan bestemmes ud fra et åbent afsluttet klasseinterval.
4. Det hjælper med at analysere kvalitative data.
5. Mode kan også bestemmes grafisk gennem histogram eller frekvenspolygon.
6. Mode er let at forstå.
ulemper:
1. Mode er ikke defineret rigid som middel. I visse tilfælde kan det komme ud med forskellige resultater.
2. Det omfatter ikke alle observationer af en distribution, men om koncentrationen af frekvenserne af emnerne.
3. Yderligere algebraisk behandling kan ikke gøres med mode som middel.
4. I multimodale og bimodale tilfælde er det svært at bestemme.
5. Mode kan ikke bestemmes ud fra ulige klasseintervaller.
6. Der er forskellige metoder og forskellige formler, der giver forskellige resultater af mode, og det er med rette bemærket som det mest dårligt definerede gennemsnit.
