Betydningen af forskellen mellem midler
Efter at have læst denne artikel vil du lære om betydningen af forskellen mellem midler.
Antag, at vi ønsker at teste om 12 årige drenge og 12 årige piger i offentlige skoler adskiller sig i mekanisk evne. Da befolkningen af sådanne drenge og piger er for stor, tager vi en tilfældig stikprøve af sådanne drenge og piger, administrerer en test og beregner måder for drenge og piger særskilt.
Antag, at den gennemsnitlige score på sådanne drenge er 50, og at sådanne piger er 45. Vi markerer en forskel på 5 point mellem drenge og piger. Det kan være en kendsgerning, at en sådan forskel kunne have opstå på grund af stikprøveudsving.
Hvis vi tegner to andre prøver, vil en fra 12-årige drenge og andre fra 12-årige piger finde en vis forskel på midlerne, hvis vi fortsætter med at gentage det i lang tid med at tegne prøver af 12 årige drenge og 12 årige piger finder vi, at forskellen mellem to sæt midler vil variere.
Nogle gange vil denne forskel være positiv, undertiden negativ, og nogle gange nul. Fordelingen af disse forskelle vil danne en normal fordeling omkring en forskel på nul. SD'en af denne distribution kaldes Standard fejlen af forskellen mellem midler.
Følgende symboler anvendes:
SEM 1 - M 2 eller SE D eller σ DM
To situationer opstår med hensyn til forskelle mellem gennemsnit:
(a) De i hvilke midler er ukorrelerede / uafhængige, og
(b) De, hvor midlerne er korrelerede.
(a) SE af forskellen mellem to uafhængige midler:
Midler er ukorrelerede eller uafhængige, når de beregnes fra forskellige prøver eller fra ukorrelerede tests indgivet til den samme prøve.
I så fald kan der opstå to situationer:
(i) Når midler er ukorrelerede eller uafhængige og prøver er store, og
(ii) Når midlerne er ukorrelerede eller uafhængige, og prøverne er små.
(i) SE af forskellen (SE D ), når midlerne er ukorrelerede eller uafhængige, og prøverne er store:
I denne situation kan SE D beregnes ved at bruge formlen:
i hvilken SE D = Standard fejl af forskellen i midler
SEm 1 = Standard fejl af middelværdien af den første prøve
SEm 2 = Standard fejl af middelværdien af den anden prøve
Eksempel 1:
To grupper, en bestod af 114 mænd og den anden af 175 kvinder. Den gennemsnitlige score af mænd og kvinder i en ordbyggetest var henholdsvis 19, 7 og 21, 0, og SD'er af disse to grupper er henholdsvis 6, 08 og 4, 89. Test, om den observerede forskel på 1, 3 til fordel for kvinder er signifikant på .05 og på .01 niveau.
Opløsning:
Det er en to-tailed test → Som retning er ikke klar.
For at teste betydningen af en opnået forskel mellem to prøveorganer kan vi fortsætte gennem følgende trin:
Trin 1:
I første skridt skal vi være klare, om vi skal lave to-tailed test eller one-tailed test. Her vil vi teste om forskellen er signifikant. Så det er en to-tailed test.
Trin 2:
Vi opstiller en null hypotese (H 0 ), at der ikke er nogen forskel mellem befolkningens midler til mænd og kvinder i ordbygning. Vi antager forskellen mellem populationen af to grupper til at være nul dvs. H o : D = 0.
Trin 3:
Så skal vi bestemme testets signifikansniveau. I vores eksempel skal vi teste forskellen på .05 og .01 niveau af betydning.
Trin 4:
I dette trin skal vi beregne standardfejl for forskellen mellem midler, dvs SE D.
Da vores eksempel er ukorreleret betyder og store prøver, skal vi anvende følgende formel til at beregne SE D :
Trin 5:
Efter beregning af værdien af SE D skal vi udtrykke forskellen på prøveorganer i forhold til SE D. Da vores eksempel er en lethed af store prøver, bliver vi nødt til at beregne Z hvor,
Trin 6:
Med henvisning til karakteren af testen i vores eksempel skal vi finde ud af den kritiske værdi for Z fra tabel A både på .05 og på .01 niveau af betydning.
Fra tabel A, Z.05 = 1, 96 og Z.01 = 2, 58. (Dette betyder at værdien af Z skal være signifikant ved .05 eller mindre skal være 1, 96 eller mere).
Nu 1, 91 <1, 96 er den markante forskel ikke signifikant på .05 niveau (dvs. H0 accepteres).
fortolkning:
Da prøven er stor, kan vi antage en normal fordeling af Z'er. Den opnåede Z undlader bare at nå .05 niveauet af betydning, som for store prøver er 1, 96.
Derfor ville vi ikke afvise nulhypotesen, og vi vil sige, at den opnåede forskel ikke er signifikant. Der kan faktisk være en vis forskel, men vi har ikke tilstrækkelig sikkerhed for det.
En mere praktisk konklusion ville være, at vi ikke har tilstrækkelige beviser for nogen kønsforskel i ordbygningsevnen, i det mindste i den slags befolkningsprøve.
Eksempel 2:
Data om præstationer for drenge og piger gives som:
Test om drenge eller piger udfører bedre, og om forskellen på 1, 0 til fordel for drenge er signifikant på .05 niveau. Hvis vi accepterer forskellen til at være signifikant, hvad ville være type 1-fejlen.
Opløsning:
1, 85 <1, 96 (Z, O5 = 1, 96). Derfor accepteres H 0, og den markante forskel på 1, 0 til fordel for drenge er ikke signifikant på .05 niveau.
Hvis vi accepterer forskellen for at være signifikant, begår vi Type 1-fejl. Ved at læse Tabel A finder vi, at ± 1, 85 Z omfatter 93, 56% af sagerne. Derfor accepterer den markante forskel at være signifikant er vi 6, 44% (100 - 93, 56) forkert, så Type 1 fejl er 0644.
Eksempel 3:
Klasse A blev undervist i en intensiv coaching facilitet, mens klasse B i en normal klasse undervisning. I slutningen af et skoleår klassificerede A og B henholdsvis 48 og 43 med henholdsvis SD 6 og 7, 40.
Test om intensiv coaching har hentet gevinst i gennemsnitskarakter til klasse A. Klasse A udgør 60 og klasse B 80 studerende.
. . . 4, 42 er mere end Z.01 eller 2, 33. Så H o afvises. Den markante forskel er signifikant på .01 niveau.
Derfor konkluderer vi, at intensiv coaching hentede gode gennemsnitlige scoringer af klasse A.
(ii) SE af forskellen (SE D ), når midlerne er ukorrelerede eller uafhængige, og prøverne er små:
Når N'erne af to uafhængige prøver er små, kan SE af forskellen mellem to midler beregnes ved anvendelse af følgende to formler:
Når resultaterne gives:
hvor x 1 = X 1 - M 1 (dvs. afvigelse af scoringer af den første prøve fra gennemsnittet af den første prøve).
X 2 = X 2 - M 2 (dvs. afvigelse af scoringer af den anden prøve fra deres gennemsnit)
Når midler og SD'er af begge prøverne gives:
Eksempel 4:
En interessetest administreres til 6 drenge i en erhvervsuddannelsesklasse og til 10 drenge i en latinsklasse. Er den gennemsnitlige forskel mellem de to grupper signifikant på .05 niveau?
Indtastning af tabel:
D vi finder det med df = 14 er den kritiske værdi af t på .05 niveauet 2, 14 og på .01 niveau er 2.98. Den beregnede værdi på 1, 78 er mindre end 2, 14 ved .05 niveau af betydning.
Derfor accepteres H 0 . Vi konkluderer, at der ikke er nogen signifikant forskel mellem de gennemsnitlige scoringer af interessetest af to grupper af drenge.
Eksempel 5:
En personlighedsopgørelse administreres i en privat skole til 8 drenge, hvis adfærdskort er eksemplar og til 5 drenge, hvis optegnelser er meget dårlige.
Data er angivet nedenfor:
Er forskellen mellem gruppemedlemmer signifikant på .05-niveauet? på 01-niveauet?
Indtastning af tabel D finder vi, at med df 11 er den kritiske værdi af t på .05 niveauet 2.20 og på .01 niveauet er 3, 11. Den beregnede værdi på 2, 28 er lige over 2, 20, men mindre end 3, 11.
Vi konkluderer, at forskellen mellem gruppemedlemmer er signifikant på .05 niveau, men ikke signifikant på .01 niveau.
Eksempel 6:
På en aritmetisk ræsonnement gjorde 11 ti årige drenge og 6 ti årige piger følgende scoringer:
Er den gennemsnitlige forskel på 2, 50 signifikant på .05 niveauet?
Opløsning:
Ved at anvende formel (43b).
Indtastning af tabel D finder vi, at med df 15 er den kritiske værdi af t på .05 niveauet 2, 13. Den opnåede værdi på 1, 01 er mindre end 2, 13. Derfor er den markante forskel på 2, 50 ikke signifikant på .05 niveau.
(b) SE af forskellen mellem to korrelerede midler:
(i) Den enkelte gruppemetode:
Vi har allerede behandlet problemet med at afgøre, om forskellen mellem to uafhængige midler er signifikant.
Nu er vi bekymrede for betydningen af forskellen mellem korrelerede midler. Korrelerede midler opnås fra samme test administreret til den samme gruppe ved to lejligheder.
Antag at vi har administreret en test til en gruppe børn, og efter to uger skal vi gentage testen. Vi ønsker at måle effekten af praksis eller speciel træning på det andet sæt scoringer. For at bestemme betydningen af forskellen mellem de midler, der blev opnået i den indledende og endelige testning.
Vi skal bruge formlen:
hvor σ M1 og σ M2 = SE'er af den indledende og endelige test betyder
r 12 = Korrelationskoefficient mellem scoringer foretaget ved indledende og afsluttende test.
Eksempel 7:
I begyndelsen af akademiet var den gennemsnitlige score på 81 studerende på en uddannelsespræstationsprøve i læsning 35 med en SD på 5.
Ved slutningen af sessionen var den gennemsnitlige score på en tilsvarende form af den samme test 38 med en SD på 4. Korrelationen mellem scoringer foretaget ved den indledende og den endelige test var .53. Har klassen gjort betydelige fremskridt i læsning i løbet af året?
Vi kan tabulere vores data som følger:
(Test ved .01 niveau af betydning)
Opløsning:
Da vi kun er bekymrede for fremskridt eller gevinster, er det en en-tailed test.
Ved at anvende formlen:
Da der er 81 elever, er der 81 par scoringer og 81 forskelle, således at df bliver 81 - 1 eller 80. Fra tabel D er t for 80 df 2, 38 på .02-niveauet. (Tabellen giver 2, 38 for den to-tailed test, som er .01 for single-tailed testen).
Den opnåede t på 6, 12 er langt større end 2, 38. Derfor er forskellen signifikant. Det ser ud til at klassen har gjort betydelige fremskridt i læsningen i skoleåret.
(ii) Forskelmetode:
Når grupper er små, bruger vi "forskelmetode" for nem og hurtig beregning.
Eksempel 8:
Ti emner gives 5 på hinanden følgende forsøg ved en ciffer-symboltest, hvoraf kun scorerne for forsøg 1 og 5 er vist. Er den gennemsnitlige gevinst fra første til sidste prøve væsentlig?
Søjlen af forskel er fundet ud fra forskellen mellem par af scoringer. Den gennemsnitlige forskel er fundet 4, og SD'en omkring dette betyder (SD D )
Beregning af SE af den gennemsnitlige forskel:
I hvilken SE MD = Standard fejl af middelforskellen
SD = Standardafvigelse omkring den gennemsnitlige forskel.
Den opnåede t på 5, 26> 2, 82. Vores t på 5, 26 er meget større end .01 niveauet på 2, 82 og der er ringe tvivl om, at gevinsten fra prøve 1 til prøve 5 er signifikant.
iii) Metoden for ækvivalente grupper:
Matchende ved par:
Nogle gange kan det være nødvendigt at sammenligne den gennemsnitlige ydeevne for to ækvivalente grupper, der matches med par.
Ved fremgangsmåden for ækvivalente grupper foretages matchningen først parvis, således at hver person i den første gruppe har en kamp i den anden gruppe.
I sådanne tilfælde er antallet af personer i begge grupper det samme, dvs. n 1 = n 2 .
Her kan vi beregne SE D ved hjælp af formel:
hvor SE M1 andSE M2 = Standard fejl i henholdsvis de endelige resultater af henholdsvis Group-I og Group-II.
r 12 = Korrelationskoefficient mellem slutresultat i gruppe I og gruppe II.
Eksempel 9:
To grupper blev dannet på grundlag af de score, der blev opnået af eleverne i en efterretningstest. En af grupperne (eksperimentel gruppe) fik nogle yderligere instruktion i en måned, og den anden gruppe (kontrollerede gruppe) fik ingen sådan instruktion.
Efter en måned blev begge grupper givet samme test, og dataene vedrørende de endelige resultater er angivet nedenfor:
fortolkning:
Indtastning af tabel af t (tabel D) med df 71 den kritiske værdi af t på .05 niveau i tilfælde af en-tailed test er 1, 67. Den opnåede t på 2, 34> 1, 67. Derfor er forskellen signifikant på .05 niveau.
. . . Middelværdien er steget som følge af yderligere instruktion.
Med df af 71 den kritiske værdi af t på .01 niveau i tilfælde af en-tailed test er 2.38. Således opnået t på 2, 34 <2, 38. Derfor er forskellen ikke signifikant på .01 niveau.
Standardfejl af forskellen mellem anden statistik:
(i) SE af forskellen mellem ukorrigerede medianer:
Betydningen af forskellen mellem to medianer opnået fra uafhængige prøver kan findes fra formlen:
(ii) SE af forskellen mellem standardafvigelser:
