Sententisk beregning: Symbolisering, Sandhedsfunktioner og deres interdefinabilitet

Sententisk beregning: Symbolisering, Sandhedsfunktioner og deres Interdefinerbarhed!

Symbolisering - Værdien af ​​specielle symboler:

Argumenter præsenteret på engelsk eller et andet naturligt sprog er ofte vanskelige at vurdere på grund af de anvendte ords uklare og ufuldstændige karakter, deres konstruktionens tvetydighed, de vildledende idiomer, de kan indeholde, deres potentielt forvirrende metaforiske stil og den distraktion, der skyldes uanset følelsesmæssig betydning, de kan udtrykke.

Selv efter at disse vanskeligheder er løst, er der stadig problemet med at fastslå argumentets gyldighed eller invaliditet. For at undgå disse perifere vanskeligheder er det hensigtsmæssigt at oprette et kunstigt symbolsk sprog, der er fri for sådanne defekter, i hvilke udsagn og argumenter kan formuleres.

Anvendelsen af ​​en særlig logisk notation er ikke ejendommelig for moderne logik. Aristoteles brugte også variabler til at lette sit eget arbejde. Skønt forskellen i den henseende mellem moderne og klassisk logik ikke er af art, men af ​​grad, er forskellen i grad enorm.

Jo større grad moderne logik har udviklet sit eget specielle tekniske sprog, har gjort det umådeligt stærkere et værktøj til analyse og fradrag. De specielle symboler i den moderne logik hjælper os med mere tydeligt at udstille de logiske strukturer af propositioner og argumenter, hvis former kan være tilbøjelige til at være fordybet af det ufuldstændige sprogs ubehag.

En yderligere værdi af logikerens specielle symboler er den hjælp, de giver i selve brugen og manipulationen af ​​udsagn og argumenter. Situationen her er sammenlignelig med den, der førte til udskiftning af romertal ved den arabiske notation. Vi ved alle, at arabiske tal er klarere og lettere forstået end de ældre romersker, som de fordrev.

Men arabiske tales reelle overlegenhed er kun afsløret i beregningen. Enhver elev kan nemt formere 113 ved 9. Men at multiplicere CXIII ved IX er en vanskeligere opgave, og vanskeligheden stiger, da større og større tal overvejes. På samme måde lettes tegningen af ​​afledninger og bedømmelsen af ​​argumenter meget ved vedtagelsen af ​​en særlig logisk notation.

Moderne logikere mener, at vi ved hjælp af symbolikken kan gøre overganger i ræsonnement næsten mekanisk ved øjet, som ellers ville kalde i spil de højere fakulteter i hjernen.

Fra dette synspunkt er det paradoxalt nok ikke logisk at beskæftige sig med at udvikle vores tankegang, men med udviklingsteknikker, som gør det muligt for os at udføre nogle opgaver uden at skulle tænke så meget.

Symbolerne for konjunktion, negation og disjunktion:

Vi deler alle udsagn i to generelle kategorier, enkle og sammensatte. En simpel sætning er en, der ikke indeholder nogen anden erklæring som en komponent. For eksempel er "Sudhirs ærlige" en simpel sætning. En sammensat sætning er en, der indeholder en anden sætning som en komponent. For eksempel er "Sudhirs ærlige og Sudhirs intelligente" en sammensat sætning, for den indeholder to enkle udsagn som komponenter.

Begrebet af en komponent i en erklæring er ret ligetil, selv om det ikke er lige det samme som "en del, der selv er en erklæring". Eksempelvis er de sidste fire ord i udsagnet "Manden, der skød Lincoln, en skuespiller" kunne faktisk betragtes som en erklæring i sig selv. Men denne erklæring er ikke en del af den større erklæring, som disse fire ord er en del af.

For at en del af erklæringen skal være en bestanddel af denne erklæring skal to betingelser være opfyldt: For det første skal delen være en erklæring i sig selv, og for det andet, hvis den pågældende del erstattes i den større erklæring ved en anden erklæring, Resultatet af denne udskiftning vil være meningsfuldt. Selv om den første betingelse er opfyldt i det givne eksempel, er det andet ikke. For hvis delen "Lincoln var en skuespiller" er erstattet af "der er løver i Afrika", er resultatet det uanstændige udtryk "Manden der skød der er løver i Afrika."

Konjunktion :

Konjunktion er en type sammensat sætning. Vi kan danne sammenhængen i to udsagn ved at placere ordet "og" mellem dem; De to udsagn så kombinerede kaldes "conjuncts." Således er den sammensatte sætning "Sudhirs ærlige og Sudhirs intelligente" en sammenhæng, hvis første konjunktur er "Sudhirs ærlige", og hvis anden konjunktur er "Sudhirs intelligente".

Ordet "og" er et kort og bekvemt ord, men det har andre anvendelser ud over det at forbinde udsagn. Eksempelvis er udsagnet "Nehru og Netaji samtidige" ikke en sammenhæng, men en simpel sætning der udtrykker et forhold. For at have et unikt symbol, hvis eneste funktion er at forbinde udsagn konjunktivt, introducerer vi prikken "•" som vores symbol for sammenhæng. Således kan den tidligere sammenhæng skrives som "Sudhirs ærlige Sudhirs intelligente." Mere generelt, hvor p og q er to sætninger uanset, deres sammenhæng er skrevet p • q.

Vi ved, at hver erklæring er enten sand eller falsk. Derfor siger vi, at hver udsagn har en sandhedsværdi, hvor sandhedsværdien af ​​en sand sætning er sand, og sandheden værdien af ​​en falsk erklæring er falsk. Ved at bruge dette begrebet "sandhedsværdi" kan vi dele sammensatte udsagn i to forskellige kategorier, alt efter hvorvidt sandhedsværdien af ​​den sammensatte sætning bestemmes helt af sandhedsværdierne af dens komponenter eller bestemmes af andet end sandhedsværdierne af dets komponenter.

Vi anvender denne sondring på Conjunctions. Sandhedsværdien af ​​sammenhængen mellem to udsagn bestemmes helt og fuldt af sandhedens værdier af sine to konjunkturer. Hvis begge konjunkturerne er sande, er sammenhængen sand; ellers er det falsk. Af denne grund siges en sammenhæng at være en sandhedsfunktionel sammensat sætning, og dens konjunkturer siges at være sandhedsfunktionelle komponenter af den.

Ikke alle sammensatte erklæringer er sandhedsfunktionelle. For vores nuværende formål definerer vi en komponent af en sammensat sætning for at være en sandhedsfunktionel komponent af den, forudsat at hvis komponenten erstattes i forbindelsen ved hjælp af forskellige udsagn, der har den samme sandhedsværdi som hinanden, produceres de forskellige sammensatte udsagn af disse erstatninger vil også have de samme sandhedsværdier som hinanden. Og nu definerer vi en sammensat sætning til at være en sandhedsfunktionel sammensat sætning, hvis alle dets komponenter er sandhedsfunktionelle komponenter af den.

En sammenhæng er en sandhedsfunktionel sammensat sætning, så vores prikkesymbol er et sandhedsfunktionelt bindemiddel. I betragtning af to udsagn, /; og q, er der kun fire mulige sæt af sandhedsværdier, de kan have. Disse fire mulige tilfælde og sandeværdien af ​​sammenhængen i hver kan vises som følger:

Hvor p er sandt og q er sandt, er p • q sand.

Hvor p er sandt og q er falsk, er p • q falsk.

Hvor p er falsk, og q er sandt, er p • q falsk.

Hvor p er falsk og q er falsk, er p • q falsk.

Hvis vi repræsenterer sandhedsværdierne "sande" og "falske" med store bogstaver T og F, kan bestemmelsen af ​​en værdigheds sandeværdi af sindets værdier være mere kort og tydeligere ved hjælp af en sandhed bord som

Det er praktisk at forkorte simple sætninger med store bogstaver, generelt ved hjælp af dette brev et brev, der hjælper os med at huske, hvilken erklæring den forkortes. Således bør vi forkorte "Sudhirs ærlige og Sudhirs intelligente" som H • I.

Nogle sammenhænge, ​​hvis begge konjunkturer har samme emnebetegnelse - for eksempel "Byron var en stor digter og Byron var en stor eventyrfører" - er mere kort og måske mere naturligt angivet på engelsk ved at placere "og" mellem prædikaterne og ikke gentage emnebetegnelsen, som i "Byron var en stor digter og en stor eventyrer." For vores formål anser vi sidstnævnte som formulering.

Den samme sætning som den tidligere og symboliserer enten en ligegyldig som P • A. Hvis begge konjunkturer har samme predikatperiode, som i "Lewis var en berømt explorer og Clark var en berømt explorer", ville forbindelsen normalt igen være angivet på engelsk ved at placere "og" mellem emnebetingelserne og ikke gentage prædikatet, som i "Lewis og Clark var berømte opdagelsesrejsende". Enten formulering er symboliseret som L • C.

Som det fremgår af sandtabellen, der definerer punkt-symbolet, er en sammenhæng sand, hvis og kun hvis begge dens konjunkturer er sande. Men ordet "og" har en anden brug, hvori den ikke betegner en simpel (sandefunktionel) sammenhæng, men har følelsen af ​​"og efterfølgende", hvilket betyder tidsmæssig succession.

Således erklæringen "Jones kom ind i landet i New York og gik direkte til Chicago" er signifikant og kan være sandt, mens "Jones gik lige til Chicago og kom ind i landet i New York", er næppe forståeligt.

Og der er en ganske forskel på "Han tog sine sko og satte sig i seng" og "Han kom i seng og tog af hans sko." Behandling af sådanne eksempler understreger ønsket om at have et særligt symbol med en udelukkende sandhedsfunktionel konjunktiv brug.

Det skal bemærkes, at de engelske ord "men", "alligevel", "også", "stadig", men "" dog "" derudover "" alligevel "og så videre og endda komma og semikolon, kan også bruges til at forbinde to udsagn i en enkelt sammensat sætning, og i deres konjunktiv betydning kan de alle være repræsenteret af prikkens symbol.

negation:

Negationen (eller modstridende eller benægtelse) af en erklæring på engelsk dannes ofte ved at indsætte et "ikke" i den oprindelige erklæring. Alternativt kan man udtrykke negativelsen af ​​en erklæring på engelsk ved at forklare udtrykket "det er falskt at" eller "det er ikke tilfældet." Det er sædvanligt at bruge symbolet (kaldet "krølle" eller mindre ofte, en "tilde") for at danne negationen af ​​en erklæring. Således, hvor M symboliserer udsagnet "Alle mennesker er dødelige", de forskellige udsagn

"Ikke alle mennesker er dødelige". "Nogle mennesker er ikke dødelige". "Det er falsk, at alle mennesker er dødelige", og "Det er ikke tilfældet, at alle mennesker er dødelige", er alle symbolisk symboliseret som ~ M. Mere generelt, hvor p er en hvilken som helst erklæring, er dens negation skrevet ~ s. Det er indlysende, at krøllen er en sandhedsfunktionel operatør. Negationen af ​​enhver sand sagn er falsk, og negationen af ​​enhver falsk erklæring er sand. Denne kendsgerning kan præsenteres meget enkelt og tydeligt ved hjælp af en sandhedstabel:

Denne sandhedstabel kan betragtes som definitionen af ​​negationssymbolet.

disjunktion:

Disjunction (eller veksling) af to udsagn er dannet på engelsk ved at indsætte ordet "eller" mellem dem. De to komponent sætninger så kombineret kaldes "disjuncts" (eller "alternativer"). Det engelske, ordet "eller" er tvetydigt og har to beslægtede men skelnelige betydninger.

En af dem er eksemplificeret i erklæringen "Præmier vil blive afskediget i tilfælde af sygdom eller ledighed", med det formål er det åbenbart, at præmier frafaldes ikke kun for syge og for arbejdsløse, men også for personer, der begge er syge og arbejdsløse.

Denne betydning for ordet "eller" kaldes "svag" eller "inklusiv". En inklusiv disjunction er sand i tilfælde af at den ene eller den anden eller begge disjuncts er sande; kun hvis begge disjuncts er falske er deres inklusiv disjunction falsk. Den inklusiv "eller" har følelsen af ​​"enten, muligvis begge."

Ordet "eller" bruges også i stærk eller eksklusiv forstand, hvor betydningen ikke er "mindst én" men "mindst én og højst en." Hvor en restaurant lister "salat eller dessert" på sin aftensmenu, er det klart, at måltiden for den angivne pris af måltiden kan have den ene eller den anden, men ikke begge.

Vi fortolker den inklusiv disjunction af to udsagn som en påstand om, at mindst et af udsagnene er sande, og vi fortolker deres eksklusive disjunction som en påstand om, at mindst et af udsagnene er sandt, men ikke begge er sande.

Bemærk, at de to former for disjunction har en del af deres betydning til fælles. Denne delvise fælles betydning, at mindst en af ​​disjunktionerne er sandt, er hele meningen med den inkluderende "eller" og en del af meningen med det eksklusive "eller".

Hvor p og q er nogen to udsagn uanset, er deres svage eller inklusiv disjunction skrevet af p ᵛ q. Vores symbol for inkluderende disjunction (kaldet "kile" eller, hyppigere en "vee") er også en sandhed-funktionel bindende. En svag disjunction er kun falsk, hvis begge dets disjunkturer er falske. Vi kan betragte kilen som defineret af følgende sandtabel:

Den første prøveeksempel, der blev præsenteret i dette afsnit, var en disjunktiv syllogisme.

Den blinde fange har en rød hat eller den blinde fange har en hvid hat.

Den blinde fange har ikke en rød hat.

Derfor har den blinde fange en hvid hat.

Dens form er karakteriseret ved at sige, at dens første premiss er en disjunction; dens anden premiss er negationen af ​​den første del af den første premiss; og dens konklusion er den samme som den anden del af den første premiss. Det er tydeligt, at den disjunktive syllogisme, der er defineret sådan, er gyldig ved enten fortolkning af ordet "eller" det vil sige, uanset om en inklusiv eller eksklusiv disjunction er beregnet.

Eftersom det typiske gyldige argument, der har en disjunktion for en forudsætning, er ligesom den disjunktive syllogisme gyldig ved enten fortolkning af ordet "eller", kan en forenkling ske ved at oversætte det engelske ord "eller" til vores logiske symbol "ᵛ" - uanset hvilken betydning af det engelske ord "eller" er beregnet.

Hvor begge disjuncts har enten det samme emne sigt eller det samme prædik term, er det ofte naturligt at komprimere formuleringen af ​​deres disjunction på engelsk ved at placere "eller" at der ikke er behov for at gentage den fælles del af de to disjuncts .

Således "Enten Smith er ejeren eller Smith er lederen" kan lige så godt fremgå som "Smith er enten ejer eller leder", og enten er en korrekt symboliseret som O v M. Og "Enten Red er skyldig eller Butch er skyldig "vil ofte blive angivet som" enten rød eller butch er skyldig ", hvoraf en er symboliseret som R ᵛ B.

Ordet "medmindre" er ofte brugt til at danne disjunction af to udsagn. Således "Du vil gøre dårligt på eksamen, medmindre du studerer" er korrekt symboliseret som P. S. Årsagen er, at vi bruger "medmindre" at betyde, at hvis den ene proposition ikke er sand, er den anden eller vil være sand.

Men ordet "medmindre" sommetider bruges til at formidle mere information end det; Det kan betyde, at et eller andet forslag er sandt, men det er ikke begge rigtige. Det vil sige, at "medmindre" kan være beregnet som en eksklusiv disjunction.

Således skrev Jeremy Bentham: "Det, der er politisk godt, kan ikke være moralsk dårligt, medmindre regningerne for aritmetik, som er gode for et stort antal, er dårlige for en lille." Her forfatteren betydede at mindst en af ​​de to disjunktioner er sandt, men han tydeligvis også foreslog, at de ikke begge kan være sande.

Tegnsætning:

På engelsk er tegnsætning absolut nødvendigt, hvis komplicerede udtalelser skal være klare. Der bruges mange forskellige tegnsætningstegn, uden hvilke mange sætninger vil være meget tvetydige. På symbolsk logik er de samme tegnsætningstegn - parenteser, parenteser og bøjler - lige så vigtige, for i logiske sammensatte udsagn bliver de ofte sammensat til mere komplicerede.

Således er p • q ᵛ r tvetydig. Det kan betyde sammenhængen af ​​p med disjunctionen af ​​q med r, eller det kan betyde disjunctionen, hvis første disjunkt er sammenhængen mellem p og q, og hvis anden disjunkt er r. Vi skelner mellem disse to forskellige sanser ved at skille den givne formel som p • (q ᵛ r) eller ellers som (p • q) r.

At de forskellige måder at punktere den oprindelige formel gør en forskel på, kan ses ved at overveje det tilfælde, hvor p er falsk, og q og r begge er sande. I dette tilfælde er den anden punkterede formel sand (da dens anden disjunkt er sand), mens den første er falsk (da dens første konjunktur er falsk).

Her gør forskellen i tegnsætning hele forskellen mellem sandhed og løgn, for forskellige tegnsætninger kan tildele forskellige sandhedsværdier til den tvetydige p • q ᵛ r. Negationen af ​​en disjunction er ofte dannet ved brug af udtrykket "hverken eller ej". Således er udsagnet "Enten Shakespeare eller Bernard Shaw den største dramatiker" kan modsiges af udsagnet. "Hverken Shakespeare eller Bernard Shaw var den største dramatiker." Disjunctionen skulle symboliseres som S v B og dens negation som enten ~ (S ᵛ B) eller som (~ S) • (~ B).

Givet et sæt tegnsætninger til vores symbolske sprog, er det muligt at skrive ikke kun sammenhænge, ​​negationer og svage disjunktioner i den, men også eksklusive disjunction. Den eksklusive disjunktion af p og q hævder, at mindst en af ​​dem er sand, men ikke begge er sande, som er skrevet ganske enkelt som (p ᵛ q) '~ (p • q).

Enhver sammensat erklæring, der er konstrueret ud fra simple sætninger, der kun bruger de sande-funktionelle forbindelsesdele - prikk, krølle og kil - har sin sandhedsværdi helt bestemt af sandheden eller falskheden af ​​dens enkle simple sætninger.

Hvis vi kender sandhedsværdierne af enkle udsagn, er sandhedsværdien af ​​enhver sandhedsfunktionel forbindelse af dem let beregnet. For eksempel, hvis A og B er sande, og X og Y er falske udsagn, beregner vi sandhedsværdien af ​​den sammensatte sætning ~ (~ A) X) (Y ~ B) som følger. Da X er falsk, er konjunktionen A • X falsk, tør, så dens negation ~ (A • X) er sand. B er sandt; så dens negation ~ B er falsk, og da Y er falsk, er disjunktionen af ​​Y med ~ B, Y ~ ~ B, falsk.

Den konsoliderede formel [~ (A • X) • (Y ~ B)] er sammenhængen mellem en sand og en falsk erklæring og er derfor falsk. Derfor er dens negation, som er hele udsagnet, sandt. En sådan trinvis procedure gør det altid muligt for os at bestemme sandhedsværdien af ​​en sammensat udsagn fra sandhedsværdierne af dens komponenter.

Betingede udsagn og materielle konsekvenser:

Hvor to sætninger kombineres ved at placere ordet 'hvis' før først og indsætte ordet 'da' mellem dem, er den resulterende sammensatte sætning en betinget (også kaldet en 'hypotetisk', en 'implikation' eller en 'implicativ udtalelse' .) På en betinget måde er komponenterklæringen, der følger "if", kaldet 'antecedent'en og komponenterklæringen, der følger' derefter '

For eksempel: "Hvis Mr. Jones er bremserens næste dør nabo, tjener Mr. Jones præcis tre gange så meget som bremseren" er en betinget erklæring, hvor 'Mr Jones er bremsens nabo nabo' er den antecedente og 'Mr. Jones tjener præcis tre gange så meget som brakeman'en er den konsekvens.

Vi introducerer nu et specielt symbol for at repræsentere dette, fælles delvis betydning af "if-then" -sætningen. Vi definerer det nye symbol "z כ" (kaldet "hestesko") ved at tage p כ q som en forkortelse af ~ (p • q). Den nøjagtige betydning af "3" symbolet kan angives ved hjælp af en sandhedstabel:

Her er de første to kolonner vejledningskolonnerne; de laver simpelthen alle mulige kombinationer af sandhed og løgn for p og q. Den tredje kolonne er udfyldt med henvisning til den anden, den fjerde med henvisning til den første og den tredje, den femte med henvisning til den fjerde, og den sjette er identisk med den femte pr. Definition.

Symbolet "כ" skal ikke anses for at betegne betydningen af ​​"hvis-da" eller stå for forholdet mellem implikationer. Det ville være umuligt, for der er ingen enkelt betydning af "hvis-da"; der er flere betydninger. Men symbolet "z כ" er helt entydigt. Hvad pdq forkortes er ~ (p ~ ~ q), hvis betydning er indeholdt i betydningen af ​​hver af de forskellige typer implicitte betragtninger, men som ikke udgør hele meningen med nogen af ​​dem.

Vi kan betragte symbolet "כ" som en anden form for implikation, og det vil være hensigtsmæssigt at gøre det, da en bekvem måde at læse p כ q på er "hvis p derefter q." Men det er ikke den samme slags implikation som nogen af ​​de nævnte tidligere. Det kaldes "materialimplikation" af logikere, som ved at give det et særligt navn indrømme, at det er et specielt begreb, ikke at forveksles med andre, mere sædvanlige typer implikationer.

Ingen "reel forbindelse" mellem antecedent og konsekvent er foreslået af en materiel implikation. Alt det hævder er, at det i virkeligheden ikke er tilfældet, at antecedenten er sand, når den deraf følgende er falsk. Det skal bemærkes, at symbolet for materielle implikationer er et sandhedsfunktionelt bindemiddel, som symbolerne for sammenhæng og disjunction. Som sådan er det defineret af sandhedstabellen.

Som således defineret af sandtabellen har hestesko symbolet "כ" nogle funktioner, som i starten kan forekomme underlige. Påstanden om, at en falsk antecedent materielt indebærer en sand konsekvens er sandt; og påstanden om, at en falsk antecedent væsentligt indebærer en falsk konsekvens er også sandt.

Sannhedsfunktioner og deres Inter-Definability Statement Formularer, Material Equivalence og Logical Equivalence:

Der er en nøjagtig parallel mellem argumentets relation til argumentformen på den ene side og forholdet mellem erklæring og udsagnsform på den anden side. Definitionen af ​​"sætningsformular" gør det tydeligt: ​​Et sætningsformular er en sekvens af symboler, der indeholder udsagnsvariabler, men ingen udsagn, således at når udsagn er erstattet af udsagnsvariablerne - bliver den samme sætning erstattet af den samme udsagnsvariabel overalt Resultatet er en erklæring.

Således er p ᵛq en sætningsformular, for når udsagn er erstattet af variablerne p og q, resulterer en erklæring. Da den resulterende erklæring er en disjunktion, kaldes pvq en "disjunktiv sætningsformular." Analogt kaldes p • q og p כ q "conjunctive" og "conditional statement forms" og ~ p kaldes en "negation form" eller " benægtelsesformular. "

Ligesom ethvert argument af en bestemt form siges at være en substitutionseksempel af denne argumentform, så er enhver udsagn af en bestemt form siges at være en substitutionseksempel af denne erklæring. Og ligesom vi skelner mellem den specifikke form for et givet argument, skelner vi den specifikke form for en given sætning som den sætning, form, hvorfra udsagnet resulterer ved at erstatte en anden simpel sætning for hver forskellige udsagnsvariabel. Således er pvq den specifikke form for udsagnet "Den blinde fange har en rød hat eller den blinde fange har en hvid hat."

Tautologiske, modstridende og betingede erklæringer:

Det er helt naturligt at føle, at selv om udsagnene "Lincoln blev myrdet" (symboliseret som L) og "Enten Lincoln blev myrdet, ellers var han ikke" (symboliseret som L v ~ L) begge er sande, de er sande " på forskellige måder "eller har" forskellige slags "af sandhed. På samme måde er det helt naturligt at føle, at selv om udsagnene "Washington blev myrdet" (symboliseret som W) og "Washington blev både myrdet og ikke myrdet" (symboliseret som W • ~ W) er begge falske, er de falske "i forskellige måder "eller har" forskellige slags "af løgn. Mens vi ikke foregiver at give nogen form for psykologisk forklaring på disse "følelser", kan vi alligevel påpege visse logiske forskelle, som de sandsynligvis er egnede til.

Erklæringen L er sand og udsagnet W er falsk; Det er historiske fakta. Der er ingen logisk nødvendighed for dem. Hændelser kan have fundet sted forskelligt, og sandhedsværdierne af sådanne udsagn som L og W skal opdages af en empirisk undersøgelse af historien.

Men udsagnet L v ~ L, selv om det er sandt, er ikke en sandhed i historien. Der er logisk nødvendighed her: Begivenheder kunne ikke have været som at gøre det falsk, og dets sandhed kan være kendt uafhængigt af en bestemt empirisk undersøgelse. Erklæringen L v ~ L er en logisk sandhed, en formel sandhed, sand i kraft af sin form alene. Det er en substitutionseksempel af en erklæring fra alle hvis substitutionsinstanser er sande udsagn.

En erklæring fra dette har kun sande substitutionsinstanser kaldes en "tautologisk formuleringsform" eller en "tautologi." For at vise, at udsagnet fra pv ~ p er tautologi; vi konstruerer følgende sandhedstabel:

Der er kun en start- eller vejledningskolonne til denne sandhedstabel, da den pågældende formular kun indeholder en udsagnsvariabel. Derfor er der kun to rækker, som repræsenterer alle mulige substitutionsinstanser.

Der er kun T'er i kolonnen under den pågældende formuleringsformular, og denne kendsgerning viser, at alle dens substitutionsinstanser er sande. Enhver erklæring, der er en substitutionseksempel på en tautologisk formuleringsform, er sand i kraft af dens form og siges selv at være tautologisk eller en tautologi.

En erklæring fra dette har kun falske substitutionsinstanser siges at være "selvmodsigende" eller "modsigelse" og er logisk falsk. Erklæringen fra p • ~ p er selvmodsigende, for i dens sandtabellen forekommer kun F under det, hvilket betyder at alle dens substitutionsinstanser er falske. Enhver erklæring, som W • ~ W, som er en substitutionseksempel på en selvmodsigende erklæring, er falsk i kraft af sin form og siges selv at være selvmodsigende eller en modsigelse.

Erklæringsformularer, der har både sande og falske udsagn blandt deres substitutionsinstanser, kaldes "kontingentformularer". Enhver erklæring, hvis specifikke form er kontingent kaldes en "kontingent erklæring." Således p, p, p, q, pvq og p כ q er alle betingede oplysningsskemaer. Og sådanne udsagn som L, L, L, W, L, W og L W er betingede udsagn, da deres sandhedsværdier er afhængige eller afhængige af deres indhold snarere end alene på deres former.

Ikke alle opgørelsesformer er så naturligvis tautologiske eller selvmodsigende eller kontingent som de enkle eksempler, der er citeret. Eksempelvis er formuleringen [(p כ q) כ p] כ 3 p slet ikke indlysende, selvom dens sandtabell viser, at det er en tautologi. Det har endda et særligt navn, "Peirce's lov."

Materialekvivalens:

To erklæringer siges at være "materielt ækvivalente" eller "ækvivalente i sande værdi", når de enten er ægte eller begge falske. Dette begreb er udtrykt af symbolet "≡". Materialekvivalens er en sandhedsfunktion og kan defineres af følgende sandhedstabel:

Når to udsagn er væsentligt ækvivalente, betyder de væsentligt hinanden. Dette er let verificeret af en sandhedstabel. Derfor kan symbolet "=" læses "hvis og kun hvis." En erklæring af formen p = q kaldes en "bi-betinget", og formen kaldes også en "bi-betinget".

Logisk ækvivalens:

To udsagn er logisk ækvivalente, når (deres erklæring) deres materielækvivalens er en tautologi. Således er "princippet om dobbelt negation", udtrykt som den betingede p ≡ ~~ p, vist at være tautologisk ved følgende sandhedstabel:

som beviser den logiske ækvivalens af p ≡ ~ ~ p.

Forskellen mellem logisk ækvivalens og materialekvivalens er meget vigtig. To udsagn er kun logisk ækvivalente, når det er absolut umuligt for de to udsagn at have forskellige sandhedsværdier.

Derfor har logisk ækvivalente udsagn samme betydning og kan erstattes af hinanden i enhver sandhed-funktionel sammenhæng uden at ændre sandeværdien af ​​denne sammenhæng. Men to udsagn er væsentligt ækvivalente (selvom de ikke har nogen faktuelle forbindelser med hinanden), hvis de blot tilfældigvis har samme sandhedsværdi. Erklæringer, der kun er materielt ækvivalente, kan derfor helt sikkert ikke erstatte hinanden.

De Morgan's sætninger:

Der er to logiske ækvivalenter (dvs. logisk sande bi-betingelser) af en vis intern interesse og betydning, der udtrykker sammenhængene mellem sammenhæng, disjunction og negation. Da disjunction pvq blot hævder, at i det mindste en af ​​dens to disjunkturer er sand, modsiges det ikke ved at hævde, at mindst en er falsk, men kun ved at hævde, at begge er falske. Således hævder negationen af ​​disjunktionen pvq logisk ækvivalent med at hævde sammenhængen mellem negationerne af p og q. I symboler har vi den bi-betingede ~ (pvq) ≡ (~ p • ~ q), hvis logiske sandhed er etableret af følgende sandhedstabel:

På samme måde har vi, siden vi hævder sammenhængen mellem p og q, hævdet, at begge er sande, for at modsige denne påstand, skal vi blot hævde, at mindst en er falsk. Således hævder negationen af ​​konjugationen p • q logisk ækvivalent til at hævde disjunktionen af ​​negationerne af p og q. I symboler har vi den bi-betingede ~ (p • q) ≡ (~ p ᵛ ~ q), som let viser sig at være en tautologi.

Disse to tautologe bi-conditionals er kendt som De Morgan's sætninger, der er blevet angivet af matematikeren og logikeren Augustus De Morgan (1806-1871). De Morgan's sætninger kan gives en kombineret formulering på engelsk som

Negationen af ​​{Disjunction / conjunction} af to udsagn er logisk ækvivalent med {Konjunktion / disjunction} negationer af de to udsagn.

Sandhedstabeller:

For at teste et argumentformular undersøger vi alle mulige substitutionsinstanser for at se, om nogen af ​​dem har sande forudsætninger og en falsk konklusion. Selvfølgelig har enhver form for argument uendeligt mange substitutionsinstanser, men vi behøver ikke bekymre os om at skulle undersøge dem en ad gangen. Fordi vi kun er interesserede i sandheden eller falskheden af ​​deres forudsætninger og konklusioner, behøver vi kun overveje de involverede sandhedsværdier.

Argumenterne, der vedrører os her, indeholder kun enkle udsagn og sammensatte udsagn, som er opbygget ud af simple sætninger ved hjælp af de sandhedsfunktionelle forbindelser, der er symboliseret af prikken, krøllen, kile og hestesko.

Derfor opnår vi alle mulige substitutionsinstanser, hvis forudsætninger og konklusioner har forskellige sandhedsværdier ved at undersøge alle mulige forskellige arrangementer af sandhedsværdier for de udsagn, som kan erstattes af de forskellige udsagnsvariabler i den argumentform, der skal testes.

Hvor en argumentformular indeholder kun to forskellige sætningsvariabler, p og q, er alle dens substitutionsinstanser resultatet af enten at erstatte sande sætninger for både p og q eller en sand sætning for p og en falsk en for q eller en falsk en for p og en sand for q, eller falske udsagn for både p og q. Disse forskellige tilfælde samles mest bekvemt i form af en sandhedstabel. At bestemme gyldigheden af ​​argumentformularen

Hver række i denne tabel repræsenterer en hel klasse af substitutionsinstanser. T'erne og F'erne i de to indledende eller vejledende kolonner repræsenterer sandhedsværdierne af de udsagn, der er substitueret for variablerne p og q i argumentformen. Vi udfylder den tredje kolonne ved at henvise til de oprindelige eller vejledende kolonner og definitionen af ​​hestesko symbolet.

Den tredje kolonneoverskrift er den første "premiss" af argumentformularen, den anden kolonne er den anden "premiss", og den første kolonne er "konklusionen." Ved undersøgelsen af ​​denne sandhedstabel finder vi, at i tredje række er der T er under både premisser og en F under konklusionen, hvilket indikerer at der er mindst en substitutionseksempel på denne argumentform, der har sande forudsætninger og en falsk konklusion.

Denne række er tilstrækkelig til at vise, at argumentformularen er ugyldig. Ethvert argument af denne specifikke form (det vil sige ethvert argument, hvis specifikke argumentform er det givne argumentformular) siges at begå fejlen til at bekræfte den deraf følgende, da dens anden premiss bekræfter den konsekvens af dens betingede første forudsætning.

Nogle fælles gyldige argumenter:

Disjunktiv Syllogisme:

Det er en af ​​de enkleste gyldige argumentformer, der bygger på det faktum, at i hvert sandt disjunction skal mindst en af ​​disjuncts være sandt. Derfor, hvis en af ​​dem er falsk, skal den anden være sand. Vi symboliserer disjunktivsyllogismen som følger:

Her viser også de indledende eller vejledende kolonner alle mulige forskellige sandhedsværdier af udsagn, der kan erstatte variablerne p og q. Vi udfylder den tredje kolonne ved at henvise til de første to og fjerde med henvisning til den første alene.

Nu er den tredje række den eneste, hvor T er vist under begge premisser (den tredje og fjerde kolonne), og der vises en T under konklusionen også (den anden kolonne). Sandhedstabellen viser således, at argumentformen ikke har nogen substitutionsinstans, der har sande forudsætninger og en falsk konklusion og dermed viser, at argumentets gyldighed er testet.

Modus Ponens:

Den simpleste type intuitivt gyldigt argument, der involverer en betinget erklæring, er illustreret af argumentet:

Hvis der er sol, er der lys.

Der er solen.

Der er lys.

Den specifikke form for dette argument, kendt som modus ponens, er

Her er de to premisser repræsenteret af den tredje og første kolonne, og konklusionen repræsenteres af den anden. Kun den første række repræsenterer substitutionsinstanser, hvor begge forudsætninger er sande, og T i den anden kolonne viser, at i disse argumenter er konklusionen også sand. Denne sandhedstabel fastslår gyldigheden af ​​ethvert argument af form modus ponens.

Modus Tollens:

Vi har set det, hvis en betinget erklæring er sand, så hvis den deraf følgende er falsk, skal den antecedente være falsk. Denne form for argument er meget almindeligt brugt til at fastslå uskyldigheden af ​​noget forslag i tvivl. På ulykkesstedet kan politiet begrunde det således:

Hvis der er sol, er der lys.

Der er ikke noget lys.

Der er ingen sol.

Argumentet ville blive symboliseret som:

Gyldigheden af ​​dette argumentformular, kaldet modus tollens, kan vises med følgende sandtabel

Her er der igen ingen substitutionsinstans, ingen linje, hvor premisserne, p q q og q er begge sande, og konklusionen, ~ p, er falsk.

Hypotetisk Syllogisme:

En anden almindelig type intuitivt gyldigt argument indeholder kun betingede udsagn. Her er et eksempel:

Hvis en mand arbejder oprigtigt, er han vellykket.

Hvis mennesket lykkes, får han lykke.

Hvis en mand arbejder oprigtigt, får han lykke.

Den specifikke form for dette argument er

Da dette argument, kaldet "hypotetisk syllogisme", indeholder tre forskellige udsagnsvariabler, skal sandtabellen her have tre indledende eller vejledende kolonner og kræve otte rækker til notering af mulige substitutionsinstanser. Ud over de indledende kolonner kræves der yderligere tre kolonner: to for forudsætningerne, den tredje for konklusionen. Tabellen vises som

Ved at konstruere den udfylder vi den fjerde kolonne ved at henvise tilbage til den første og den anden, den femte med henvisning til den anden og tredje og den sjette med henvisning til den første og tredje. Examining the completed table, we observe that the premisses are true only in the first, fifth, seventh, and eighth rows and that in all of these the conclusion is true also. This truth table establishes the validity of the argument form and proves that the Hypothetical Syllogism also remains valid when its conditional statements are translated by means of the horseshoe symbol.

Formal Proof of Validity:

In theory, truth tables are adequate to test the validity of any argument of the general type here considered. But in practice they grow unwieldy as the number of component statements increases. A more efficient method of establishing the validity of an extended argument is to deduce its conclusion from its premisses by a sequence of elementary arguments each of which is known to be valid. This technique accords fairly well with ordinary methods of argumentation.

Consider, for example, the following argument:

If Sapna was nominated, then she went to Delhi.

If she went to Delhi, then she campaigned there.

If she campaigned there, she met Harish.

Sapna did not meet Harish.

Either Sapna was nominated or someone more eligible was selected.

Therefore someone more eligible was selected.

Its validity may be intuitively obvious, but let us consider the matter of proof. The discussion will be facilitated by translating the argument into our symbolism as

To establish the validity of this argument by means of a truth table would require one with thirty-two rows, since there are five different simple statements involved. But we can prove the given argument valid by deducing its conclusion from its premisses by a sequence of just four elementary valid arguments.

From the first two premisses A ﬤ B and BﬤC we validly infer A ﬤ C by a hypothetical syllogism. From A ﬤC and the third premiss C ﬤ D we validly infer A ﬤ D by another hypothetical syllogism. From A ﬤD and the fourth premiss ~D we validly infer ~A by modus tollens. And from ~A and the fifth premiss A ᵛ E, by a disjunctive syllogism we validly infer E, the conclusion of the original argument.

That the conclusion can be deduced from the five premisses of the original argument by four elementary valid arguments proves the original argument to be valid. Here the elementary valid argument forms hypothetical syllogism (HS), modus tollens (MT), and disjunctive syllogism (DS) are used as rules of inference in accordance with which conclusions are validly inferred or deduced from premisses.

A more formal proof of validity is given by writing the premisses and the statements that we deduce from them in a single column; and setting off in another column, to the right of each such statement, its “justification, ” or the reason we can give for including it in the proof.

It is convenient to list all the premisses first and to write the conclusion slightly to one side, separated by a diagonal line from the premisses. The diagonal line automatically labels all statements above it as premisses. If all the statements in the column are numbered, the “justification” for each statement consists of the numbers of the preceding statements from which it is inferred, together with the abbreviation for the rule of inference by which it follows from them. The formal proof of the argument above is written as:

We define a formal proof that a given argument is valid to be a sequence of statements each of which is either a premiss of that argument or follows from preceding statements of the sequence by an elementary valid argument, such that the last statement in the sequence is the conclusion of the argument whose validity is being proved.

We define an elementary valid argument to be any argument that is a substitution instance of an elementary valid argument form. One matter to be emphasized is that any substitution instance of an elementary valid argument form is an elementary valid argument. Thus the argument

is an elementary valid argument because it is a substitution instance of the elementary valid argument form modus ponens (MP). It results from

by substituting A • B for p and C ≡ (D v E) for q and is therefore of that form even though modus ponens is not the specific form of the given argument.

Modus ponens is a very elementary valid argument form indeed, but what other valid argument forms are to be included as rules of inference? We begin with a list of just nine rules of inference to be used in constructing formal proofs of validity:

Rules of Inference:

1. Modus Ponens (MP)

pﬤq

p

q

2. Modus Tollens (MT)

pﬤq

~q

~p

3. Hypothetical Syllogism (HS)

pﬤ q

qﬤ r

p ﬤ r

4. Disjunctive Syllogism (DS)

pvq

~p

q

5. Constructive Dilemma (CD)

(p ﬤq) • (r ﬤ s)

pvr

qvs

6. Absorption (Abs.)

pﬤ q

p ﬤ (p • q)

7. Simplification (Simp.)

p • q

p

8. Conjunction (Conj.)

P

q

p • q

9. Addition (Add.)

p

p • q

Rule of Replacement: Any of the following logically equivalent expressions may replace each other wherever they occur:

10. De Morgan's Theorems (De M.):

~ (p • q) ≡ (~p ᵛ~q)

~ (pvq) ≡ (~p • ~q)

11. Commutation (Com.):

(pvq) ≡ (qvp)

(p • q) ≡ (q • p)

12. Association (Assoc.):

[pv (qvr)] ≡ [(pvq) vr]

[p• (q • r)] ≡ [(p • q) •r)

13. Distribution (Dist.):

[p • (qvr)] ≡ [(p • q) v (p • r)]

[pv (q • r)] ≡ [(pvq) • (pvr)]

14. Double negation (DN):

p ≡ ~ ~p

15. Transposition (Trans.):

(p ≡ q) ≡ [~q ﬤ ~p)

16. Material implication (Impl.):

(p ﬤ q) ≡ (~p vq)

17. Material equivalence (Equiv.):

(p ≡ q) ≡ [(pﬤq) • (qﬤp)]

(p ≡ q) ≡ [(p • q) ᵛ (~p • ~q)]

18. Exportation (Exp.):

[(p • q) 3 r] [p ﬤ (~q •~q)]

19. Tautology (Taut.):

p ≡ (pvp)

p≡ (p • p)