Fordeling af lasten af broer over bjælkerne
Denne artikel sætter lys på de to øverste teorier, der er vedtaget til fordeling af last af broer over bjælkene.
1. Courbon's Theory:
I Courbons teori antages krydsbjælkerne eller membranerne at være uendeligt stive. På grund af dækets stivhed bevæger en koncentreret belastning i stedet for at afbøjle den nærliggende bjælke eller bjælkebjælker ned alle bjælkerne, hvis relative størrelse afhænger af placeringen af den koncentrerede belastning eller gruppe af koncentrerede belastninger.
I tilfælde af en enkelt koncentrisk belastning eller en gruppe af symmetrisk belastning bliver afbøjningen af alle bjælkerne lige, men når belastningerne placeres excentrisk i forhold til dækets midterlinie, forbliver afbøjningen af alle bjælkerne ikke den samme men den ydre bjælke af den belastede side bliver mere afbøjet end den næste indvendige bjælke osv., men afbøjningsprofilen forbliver i en lige linje som vist i figur 6.1.
Dækets adfærd ligner en stiv bunkehætte, og metoden til evaluering af belastningsdeling eller belastningsfordeling over bunkerne kan anvendes i vurderingen af belastningen, der kommer på hver bjælke.
Således fra figur 6.1:
Belastning på stråle A:
Courbon metode er gyldig, hvis følgende betingelser er opfyldt:
(i) De langsgående bjælker er forbundet med mindst fem tværgående bjælker, en i midten, to i enderne og to med en fjerdedel.
(ii) Krydsbjælkens dybde er mindst 0.75 af dybden af længdebjælkerne.
(iii) Spændviddeforholdet er større end 2 som angivet i punkt 305.9.1 i IRC: 21-1987. Forfatteren anbefaler dog, at for at få realistiske værdier skal spændviddeforholdet være større end 4, som det blev vist af forfatteren i en artikel, der blev offentliggjort i den indiske betonblade, august 1965.
Brugen af Courbons metode til at finde ud af fordelingskoefficienterne er illustreret ved et eksempel. Det kan her nævnes, at selvom det pågældende dæks spændviddeforhold ikke er sådan, at den gør teorien gældende, men bare for at gøre, kan en sammenlignende undersøgelse af resultaterne med den anden metode, dvs. Morice og Little's teori, er dette illustreret.
Eksempel 1:
Find ud af fordelingskoefficienterne for den ydre og centrale bjælke (med samme inertimoment) på dækket vist i figur 6.2, når enkeltbanen i klasse AA (sporet) lastning placeres på dækket med maksimal excentricitet. Afstanden mellem dæklinjens midterlinier er 12 meter:
2. Morice & Little's Theory:
I modsætning til Courbons teori tager denne teori hensyn til de faktiske egenskaber af dækket, dvs. bøjnings- og torsionsstivheden af dækket, og derfor anses denne metode for at være mere rationel. Fordelingskoefficienterne opnået ved denne metode er ganske ensartede med de faktiske belastningstestresultater, og derfor er det samme universelt anvendt.
I Morice & Little's teori er dækets egenskaber udtrykt af følgende to parametre:
Forfatterens forenklede metode for morskab og lille teori:
Selvom Morice og Little's metode til at finde ud af fordelingskoefficienterne er mere rationel og giver bedre resultater, har denne metode mindst en ulempe i forhold til Courbon's metode, nemlig. denne metode kræver meget mere tid til at finde ud af fordelingskoefficienterne.
Med henblik på at få distributionskoefficienterne ved den rationelle metode Morice & Little i forholdsvis mindre tid, er en forenklet metode baseret på Morice & Little's teori udviklet af forfatteren.
Hovedformålet med den forenklede metode er, at i stedet for at finde ud af værdierne K o og K 1 fra ikke-torsions- og torsionsgrafer og derefter få værdien af K fra interpolationsformlen, K = K 0 + (K 1 - K 0 ) √α, kan værdien af K direkte opnås fra kurverne (fig. B-1 til B-9), som er blevet fremstillet til forskellige værdier af a og θ.
Antallet af standardreferencestationer er også reduceret til fem kun viz., -B, -b / 2, 0, b / 2 og b i stedet for ni for at holde antallet af kurver for standardreferencestationer inden for praktiske grænser .
Eksemplet, der anvendes til at finde ud af fordelingskoefficienterne for de ydre og centrale bjælker med Courbon's metode, kan igen prøves ved den forenklede metode til Morice & Little's Theory. Dette vil forklare brugen af den forenklede metode til at finde ud af fordelingskoefficienterne samt bidrage til at foretage en sammenlignende undersøgelse mellem de to metoder.
Eksempler 2:
Beregn fordelingskoefficienterne for den ydre og centrale bjælke af brodækket vist i eksempel 1.
Givet:
(i) Span = 2a = 12, 0 m
(ii) Antal hovedbjælker = m = 3
(iii) afstand af hovedbjælker = p = 2, 45 m
(iv) ækvivalent bredde = 2b = smp = 3 x 2, 45 = 7, 35 m
(v) Antal af tværbjælker = 4
(vi) Spacing af tværbjælker = q = 4, 0 m
(vii) E = Youngs modul = 35, 25 x 10 4 kg / cm2
(viii) G = Stivhedsmodul = 14, 10 x 10 4 Kg / cm2
Opløsning:
Moment af inerti af hovedbjælker:
Effektiv bredde af flangeskal skal være mindst af følgende værdier i henhold til punkt 305: 12.2 i IRC: 21-1987:
(a) Afstand mellem bjælker = 2, 45 m = 245 cm
(b) 12 gange flangetykkelsen plus ribbredden = 12 x 23 + 30 = 306 cm
(c) ¼ Span = 3, 0 m = 300 cm
Til beregning af inertimomentet antages en idealiseret del af bjælken som vist i figur 6.4. MI af fjernlyset omkring centroid af sektion = 18, 80 x 10 6 cm. enheder:
Trækstregens momentmoment:
Effektiv flangebredde skal være mindst af følgende:
(a) afstand af tværbjælke = 4m = 400 cm.
(b) 12 gange flangetykkelsen plus ribbredden = 12 x 23 + 25 = 301 cm.
(c) ¼ af spidsen af tværbjælken (antaget lig med midterafstanden mellem yderbjælkerne)
2 × 245/4 = 122, 5 cm.
Minimumsværdi på 122, 5 cm. er taget som den effektive flangebredde. Trækstregens moment, J = 5, 78 x 10 6 cm. enheder
Torsionsstivhed på tværbjælken:
Effektiv flangebredde for tværbjælker kan tages som afstanden af tværbjælken, mens torsionsstivheden fastslås.
Indlæs på tilsvarende dæk :
Ækvivalent dækbredde = 2b = np = 7, 35 m. Det sporede køretøj er anbragt på det tilsvarende dæk med samme excentricitet som vist i figur 6.2. De tilsvarende belastninger ved standard referencestationer beregnes som en simpel reaktion i betragtning af afstanden mellem reference stationer som simpelthen understøttede spændinger og hver sporbelastning som enhedsbelastning.
Unit Distribution Co-Effective, k
Enhedens fordelingskoefficienter ved forskellige referencestationer for ækvivalente belastninger ved forskellige positioner som i tabel 6.1 opnås fra kurverne B-1 til B-9 med 0 = 0, 46 og a = 0, 054 og vist i tabel 6.2:
Distributionskoefficienter på forskellige reference stationer:
Fordelingskoefficienterne ved forskellige reference stationer kan opnås ved at multiplicere den ækvivalente belastning A med enhedsfordelingskoefficienterne k, tilføjes lodret Σλk og divideres derefter med 2, da der er to enhedslaster på dækket. I tilfælde af 2 baner i klasse A-belastning vil der være fire enhedsbelastninger på dækket, og Σ λ k skal således divideres med 4 for at få fordelingskoefficienter for hver referencestation.
Faktiske fordelingskoefficienter ved strålingsposition:
Tabel 6.3 viser fordelingskoefficienterne ved forskellige reference stationer, men egentlig fordelingskoefficienter ved strålepositioner er nødvendige for at være kendt. Dette kan gøres ved at udforme værdierne for fordelings-koefficienten ved forskellige reference stationer på et grafpapir, hvor strålepositionerne også er vist.
Fordelingskoefficienterne kan læses fra grafen ved bjælkepositionerne (figur 6.7). Disse værdier er vist i tabel 6.4:
Det er blevet bemærket ved sammenligning af værdierne af fordelingskoefficienterne opnået ved Morice og Little's oprindelige metode og ved Forfatterens forenklede Morice og Little's teori, at resultaterne af begge metoder er mere eller mindre ens og ikke varierer med mere end 5 pct.
Derfor kan den forenklede metode, der præsenteres heri, vedtages til praktisk design, da denne metode er meget hurtigere end den oprindelige metode.
Live Load Moments on Girders:
Dækets samlede øjeblik inklusive indvirkning som allerede udarbejdet i eksempel 1 er 196, 31 tm.
. . . Design levetidsmoment på ydre bjælke = Gennemsnitlig moment x Fordelingskoefficient
= 196, 31 / 3 x 1, 45 = 94, 88 tm
Design levetidsmoment på centralbælte = 196.31 / 3 x 1.11 = 72.63 tm
Det er vist i figur 6.1, at hovedbøjleens afbøjningsprofil antages at være en lige linje i Courbons teori, men i praksis er tværdækket ikke uendeligt stiv, selvom det antages i Courbons teori. Morice og Little metode tager dog hensyn til de egentlige egenskaber af det tværgående dæk, og som sådan er afbøjningsprofilen en buet (konkave form) som opnået i figur 6.7.
Denne buede profil indikerer, at der er en tværgående bøjning i brodækket ud over afbøjning af de langsgående bjælker. Derfor skal Morice & Little's metode anvendes til realistiske øjeblikke. Hvor der kræves grov vurdering inden for kortest mulig tid, kan Courbons metode vedtages.
Tværgående øjeblikke:
Indtil videre er metoderne til distribution af levende belastning på længdebjælkerne og dermed procedurerne for at finde ud af bøjningsmomenterne på de langsgående bjælker blevet diskuteret. Nu beskrives metoden til beregning af tværgående momenter og følgelig bøjningsmomenterne på tværbjælkerne.
Hver af de teorier, der er illustreret før til bestemmelse af fordelingskoefficienten, har sin egen metode til at finde ud af de tværgående øjeblikke og vil blive diskuteret kort for at vise fremgangsmåden til udformning af brodækets tværbjælker.
jeg. Tværgående øjeblik med Courbon's metode:
Da den grundlæggende antagelse af Courbons teori er den uendelige stivhed af det tværgående dæk, ses øjeblikket i tværretningen ved at anvende det samme princip, hvormed øjeblikket i en stiv pælehætte bestemmes. De belastninger, der overføres til hovedbjælkerne, tages som reaktionerne af understøtningerne.
ii. Tværgående øjeblik ved Morice & Little's metode:
Fremgangsmåden til at finde ud af bøjningsmomentet på tværbjælken ved Morice & Little's metode er beskrevet i detaljer i Morice & Cooleys bog og er derfor ikke gentaget her. Desuden vil forfatterens forenklede metode beskrevet nedenfor, der er baseret på Morice & Little's teori, fortælle om denne metode mere eller mindre i samme linje.
iii. Tværgående øjeblik af forfatterens forenklede metode:
Når en last er anbragt på brodækket, forårsager den ulige afbøjning på tværs af tværsnit og som sådan fremkalder det tværgående bøjningsmoment.
Dette tværgående bøjningsmoment er givet af den uendelige serie:
Det er blevet observeret, at de første fem vilkår er tilstrækkelige til at få øjeblikket midt i det tværgående spænd, hvor øjeblikket er maksimalt.
Derfor reducerer ligning 6, 5 til
M y = b (μ θ r 1 - μ 3θ r 3 + μ 5θ r 5 )
Hvor μθ, μ 3θ, μ 5θ er tværgående fordelingskoefficienter for øjeblikke.
Værdien af 8 er opnået fra ligning 6.3, dvs. fra dækets strukturelle egenskaber. Udtrykket "rn" er den nste co-effektivitet af Fourier-serien, der repræsenterer belastningens længdeindretning (figur 6.8).
Værdierne for rn for IRC klasse AA (sporet) eller IRC klasse 70-R (sporet) og IRC klasse A eller klasse B belastning er angivet nedenfor:
For klasse AA eller Klasse 70-R (sporet) læsning
For øjeblikket ved midtpunktet, hvor u = a (fig. 6.9)
For klasse A eller B indlæsning:
Forenklingerne i denne metode fra den oprindelige metode er:
(i) værdier kan læses direkte fra kurven i stedet for at finde ud af værdierne for μ 0 og μ 1 fra to sæt kurver og derefter få p. værdier ved at anvende interpolationsformlen, μ = μ 0 + (μ 1 - μ 0 ) √α i hvert tilfælde.
(ii) Værdien af synd (nπu / 2a) og sin (nπ / 2) sin (nπc / 2a) kan bestemmes ud fra kurverne B-13 til B-15 og værdierne for indlæsning af serier r n kan nemt findes ud. Vurderingen af disse værdier tager ellers lang tid.
Værdierne for tværgående koefficienter p for forskellige værdier af 0 og a er vist i figur B-10 til B-12 i midten af dækket til belastning ved (-) b, (-) b / 2, 0, b / 2 og b. Værdierne for r n for klasse A eller klasse B, klasse AA (sporet) og klasse 70 R (sporet) belastning kan let bestemmes ud fra kurverne som vist i henholdsvis figur B-13 til B-15.
Eksempel 3:
Find design live load moment på brodækkets tværbjælke i eksempel 1 ved Courbons metode og Forfatterens forenklede Morice & Little metode:
Courbon's Metode:
(i) Belastning placeret symmetrisk omkring midterlinien af tværgående dæk:
I betragtning af langsgående disposition (figur 6.9a), overføres belastning på tværbjælken
= 2x 35 x 3, 1 / 4, 0 = 54, 25 tons = W (sige)
Lad belastningen W placeres symmetrisk i forhold til CL'en af dækket som vist i figur 6.9b. Da det tværgående dæk antages at være stift, er reaktionen på hver langsgående bjælke W / 3.
Nu er øjeblikket på tværstrålen maksimalt i det afsnit, hvor forskydningen er nul. Dette afsnit er 1, 57 m væk fra ydre støtte.
(ii) Ekscentrisk belastning på dækket:
Det kan også undersøges, om bøjningsmomentet produceret på tværbjælken på grund af ekscentrisk belastning er mere end det skyldes symmetrisk belastning. Maksimumet af de to værdier skal vedtages i designet.
Forfatterens forenklede morice og lille metode:
Symmetrisk belastning på dæk :
Det samme dæk som i eksempel 1 betragtes. Indflydelseslinjediagrammerne til reference stationen 0, dvs. ved midten af dækket (hvor det tværgående øjeblik er maksimalt) tegnes for μθ, μ3θ og μ5θ med værdierne θ = 0, 46 og α = 0, 054 som før og er vist er fig. 6.10.
Derefter findes de kombinerede gennemsnitlige ordinater for begge sporene, når værdierne for μ θ, μ 3θ og μ 5θ er angivet som henholdsvis 0, 16, (-) 0, 020 og 0, 020, efter at sporene i Klasse AA er indlæst på indflydelseslinjediagrammerne. På samme måde opnås værdien af synd (nπ / 2) sin (nπc / 2a) fra figur B-14, som er henholdsvis 0, 48, (-) 0, 99 og 0, 68 for n = 1, 3 og 5 og for 2a = 12, 0 m .
Tværgående bøjningsmoment, pr. Meter længde, fra ligning 6, 6
M y = b [μ θ r 1 - μ 3θ r 3 + μ 5 θ r 5 ]
Eksempel 2 og 3 viste anvendelsen af forenklet Morice & Little's Method med hensyn til IRC klasse AA (Sporede) belastninger.
Denne metode kan også anvendes til lastning af IRC klasse A eller klasse B på samme måde ved at placere enkeltbanen eller to baner af køretøjer, som det er tilfældet i tværretningen med maksimal excentricitet i forhold til dækets midterlinie og beregning af de tilsvarende belastninger ved reference stationer i betragtning af hver hjulbelastning som enhedsbelastning.
Derfor skal Σλ være lig med antallet af hjulbelastninger, dvs. Σλ = 2 for enkeltlaneindlæsning og Σλ = 4 for to baner indlæsning. Dette? -Impliserer, at K = ½ Σλk for enkeltlane indlæsning og K = ¼ Σλk for to baner lastning (tabel 6.3).
Med hensyn til langsgående belastning til bestemmelse af tværgående øjeblikke skal togbelastningerne anbringes på spændingen for at frembringe maksimale øjeblikke, og passende r n- værdier skal anvendes fra ligning 6.9. Hjulbelastningen skal placeres symmetrisk i forhold til midten af det tværgående dæk.
Morice & Little's metode er mere realistisk, og som sådan kan denne metode vedtages i praktisk design for at få designmomenter. Hvor meget grov og hurtig vurdering af fordelings koefficienter er påkrævet, kan Courbon metode anvendes.
Courbons metode til belastningsfordeling er meget hurtig og enkel, men fordelingskoefficienterne opnået ved denne metode er ikke særlig realistiske, når spændviddeforholdet er mindre end 4. Morices metode til belastningsfordeling giver imidlertid korrekte resultater som verificeret ved belastningstests i en række broer (tabel 6.8).
Derfor ville det være meget fordelagtigt, om Morice's værdier af fordelingskoefficienterne på en måde opnås ved at anvende Courbon's teori.
Fig. B-16 og B-17 giver værdier af multiplikationsfaktorer for bestemte værdier af a og θ, parametrene for brodækket. Morice distributionskoefficienter kan opnås, hvis Courbons værdier korrigeres af disse multiplikationsfaktorer.
Korrektheden og nytteværdien af disse multiplikationsfaktorer ved at få Morice's distributionskoefficienter fra Courbons værdier inden for visse værdier af α og θ er vist i tabel 6.8. Disse multiplikationsfaktorer blev udviklet af forfatteren og offentliggjort i Indian Concrete Journal.
